9.2 向量运算（同步进阶训练）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.2 向量运算 一、单项选择题 1．在矩形中，，设，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】解：， 延长至，使，连接， 由于，∴， 四边形是平行四边形， ， ， . 故选:C 2．如图，是⊙的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接、、，如图． 由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则， ，则、均为等边三角形，， ，，同理可知， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 故选：D. 3．如图，在△ABC中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 故选：B 4．已知点G为的重心，若，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设是中点，则，又为的重心，∴. 故选:B. 5．下列结论正确的是（ ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，则或 D．若，其中，则 【答案】C 【解析】时，与可能不共线，如，，满足，但没有或成立，A错；，，若，则与可能不共线，B错；由向量数乘定义知C正确；时，，但与可以是任意向量，不一定相等，D错．故选：C． 6．已知△ABC的边上有一点满足，则可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为△ABC的边上有一点满足， 所以，则， 所以， 故选：A 7．已知是△ABC的边的中点，点在上，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由得， 即，即，故， 故△ABM与△ABC以为底，其高的比为，故． 故选：C． 8．点M，N，P在△ABC所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是△ABC的（ ） A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心 C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心 【答案】B 【解析】解：，， 设的中点，则， ，，三点共线，即为的中线上的点，且． 为△ABC的重心． ， ， 为的外心； ， ， 即，， 同理可得：，， 为△ABC的垂心； 故选：． 9．已知△ABC是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知， , ， 由点是斜边的中点，可知 故选：C 10．已知，以原点O为圆心的单位圆上的两点B和C，满足，则（ ） A．24 B．12 C．13 D．10 【答案】B 【解析】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ B，O，C三点共线，又点B和C在以原点O为圆心的圆上， ∴ O为B，C的中点，∴ ∴ , ∴ ，又，， ∴ ， 故选：B. 11．已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为， 所以，，可构成等边三角形，所以与的夹角为，故选：B. 12．若，则( ) A． B． C． D．在方向上的投影的数量与在方向上的投影的数量必相等 【答案】D 【解析】由，故不能判断与是否相等，故ABC错误； 在方向上的投影的数量为，在方向上的投影的数量为， 又由可知，在方向上的投影的数量与在方向上的投影的数量必相等，故D正确.故选：D. 二、填空题 13．已知，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 ， ， ， 即 .故答案为：。 14．在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为______． 【答案】 【解析】如图，结合题意绘出图像： 因为，， 所以，， 则，， 故 ， 因为， 所以，解得，，， 故答案为：. 15．设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________． 【答案】 【解析】若，， ∴，即为△的重心， 令，，则，， ∴，由， 故答案为： 16．在△中，为边上一点，且满足，设，则________ 【答案】1 【解析】依题意可得，所以，因此，所以. 故答案为：. 17．在△ABC中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则______． 【答案】. 【解析】因为， 又因为为重心，所以， 所以， 故答案为：. 18．已知向量，，若，则向量在方向上的投影为______. 【答案】 【解析】由已知，所以，解得. 则向量在方向上的投影为. 19．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】设，则， 所以， ， 由二次函数性质可得，，即： 所以， 所以的最小值为 故答案为： 20．己知，，设，的夹角为，则_________. 【答案】 【解析】由可知， ①， 又由可知， ②， 联立①②式可得，，， 从而. 故答案为：. 三、解答题 21．如图，在▱ABCD中，若， （1）当满足什么条件时， ? （2）当满足