9.2 向量运算（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.1 向量概念 课标要求 学习目标 ①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。 ②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。 ③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 ④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 ⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。 ⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 1.理解并掌握向量的加法与减法运算； 2.理解向量的数乘与数量积； 3.掌握向量共线定理。 知识精讲 一、向量的加法 1.向量加法的运算法则 (1)三角形法则 如图，已知向量和，在平面内任取一点O，作,，则向量叫作与的和，记作；即。求两个向量和的运算叫作向量的加法 三角形法则的适用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点。 (2)平行四边形法则 如图，对于任意两个不共线的非零向量和，在平面内任取一点O，分别作 ， 以OA，OC为邻边作□OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量与的和，即 += ,我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则。 平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同。 2.向量加法的运算律 (1)交换律：=+。 (2)结合律：()+=+。 3.向量加法运算的常用结论 (1) , ||≤||+|| (2)当与同向时， ||=||+||。当与反向或中至少有一个为 时， ||=||-||(或||-||)。 【练一练】如图，在△ABC中，，点E是CD的中点，设，用表示. 【答案】， 【解析】解： 二、向量的减法 1.向量减法的定义 若+=，则向量叫作与的差，记为，求两个向量差的运算，叫作向量的减法.向量的减法是向量加法的逆运算. 2.向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作 =，则 ,这就是说，当向量起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是。 由此可知，=，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 【练一练】如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【分析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 三、向量的数乘 1.向量数乘的定义 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： (1)||=||||。 (2)若≠，则当>0时，与方向相同；当<0时，与方向相反。 实数与向量相乘的运算，叫作向量的数乘。 特别地，当=0时，0=；当=时，=。 2.向量数乘的几何意义 当>0时，把向量沿着的相同方向放大或缩小； 当<0时，把向量沿着的相反方向放大或缩小。 3.向量数乘的运算律 设为向量，λ，μ为实数，则 (1)结合律：λ(μ)=(λμ)； (2)第一分配律：(λ+μ)=λ+μ； (3)第二分配律：λ()=λ+λ。 特别地，(-λ)=-(λ)=λ(-)，λ()=λ-λ。 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算。 【练一练】（1）化简：． （2）已知向量为，未知向量为向量，满足关系式，求向量． 【答案】（1） ；（2） ，． 【解析】（1）． （2）由①，②， ∴①+②，得，代入①得，即． ∴，． 四、向量共线定理 1.向量共线定理 设为非零向量，如果有一个实数λ，使=λ，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使=λ. 2.三点共线的充要条件如果A，B，C是三个不同的点，那么它们共线的充要条件是存在实数λ，使得 。 【拓展】 (1)定理中≠不能漏掉.若==，则实数入可以是位意实数；若=，-、则不存在实数λ，使得=λ。 (2)用向量法证明三点共线需要说明两点：①三点确定的两向量共线；②两向量有公共点. 【练一练】设a，b均为实数，已知，不共线，点P满足，，求证：A，B，P三点共线． 【答案】见解析 【解析】因为，故， 所以即，所以A，B，P三点共线． 五、向量的数量积 1.平面向量的数量积 如图，已知两个非零向量和，它们的夹角是θ，我们把数量||||cosθ叫作向量和的数量积(或内积或点积)，记作·，即·=||||cosθ 我们规定：零向量与任一向量的数量积为0，即·=0。 【拓展】 (1)·表示数而不表示向量，符号“.”在数量积运算中既不能省略，也不能用“×”代替. (2)向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，可以是正数、负数，也可以是0.向量数量积的正负由两个向量的夹角决定. 2.平面向量数量积的几何意义 (1)投影和投影向量 设，是两个非零向量，如图，表示向量, 表示向量，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述