9.1 向量概念（同步进阶训练）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.1 向量概念 一、单项选择题 1．已知非零向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，为单位向量，则 C．若且与同向，则 D． 【答案】A 【解析】对于A，若，则两向量的大小相等，方向相同，故成立，故A对，对于B，若，都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故B错，对C，因为两向量不能比较大小，故C错，对于D，根据平面向量的三角形法则成立，故D错，故选：A。 2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①若，则，故错误；②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；故选：A。 3．下列说法中正确的个数是（ ） ①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等； ③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； ④有相同起点的两个非零向量不平行； ⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量． 正确的有两个．故选：A． 4．已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；B：时，，不一定相等，错误；C：若为零向量时，，不一定有，错误；D：说明，同向，即，正确.故选：D。 5．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（ ） A．18 B．24 C．36 D．42 【答案】A 【解析】如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个，长度为2的向量是与相等或相反的向量，这样的向量有6个，长度为的向量是相等或相反的向量，这样的向量也有6个．所以共有18个．故选：A． 6．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，所以是成立的充分条件，故选项D正确；故选：D。 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ） A．9 B．11 C．18 D．24 【答案】D 【解析】如图， 由已知可得， ，，，， 有12对相等的向量， 改变其方向，又有12对相等的向量，共24对， 故选：D. 8．设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题， 若与平行，则与的方向相同或相反，反向时，故②③也是假命题，综上所述，假命题的个数是3，故选D。 二、填空题 9．下列说法正确的是__________（写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【解析】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③。 10．给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． 【答案】③ 【解析】①错误．若，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其