9.1 向量概念（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.1 向量概念 课标要求 学习目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。 2.理解平面向量的几何表示和基本要素。 1.了解向量的概念与表示方法； 2.理解零向量、单位向量、向量的模的概念； 3.掌握共线向量与平行向量的概念。 知识精讲 一、向量的概念及表示 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫作向量.例如：位移、力、速度、加速度等都是向量. 2.向量的表示 向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量记为，向量也可用小写字母a、b、c来表示，书写时用、、表示。 3.向量的模：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||。 4.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作；零向量的方向是任意的。 5.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量。 【练一练】 1．在下列说法中正确的有（ ） ①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量； ④平面上的数轴都是向量. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用向量的定义可判断②④的正误，利用共线向量的定义可判断①③的正误. 【解析】解：既有大小，又有方向的量统称为向量， 结合向量的定义可知仅有②④错误， 结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确， 故选：B. 2．下列说法中，正确的是（ ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误. 【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D 二、向量间的关系 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。如图，向量、、是一组平行向量。 向量与向量平行，记作。 规定：零向量与任一向量平行。 【拓展】平行向量的情况 两个平行的非零向量在其方向与长度两个要素上可能出现以下四种情况： （1）方向相同，长度不等； （2）方向相同，长度相等（相等向量）； （3）方向相反，长度相等； （4）方向相反，长度不等。 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量。向量与相等，记作。 3.共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。 【拓展】向量相等具有传递性，即若，，则.若，，未必有。但若，则，，可得。 4.向量的夹角：对于两个非零向量，在平面内任取一点0，作 =,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量与的夹角.当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反O相向；当θ=90°时，则称向量与垂直，记作。 5.相反向量 我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫作的相反向量，记作-，与-互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量； 对任意一个向量，总有-(-)=。 【练一练】 1．下列命题中，正确的是________．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 【答案】③ 【分析】根据向量相等、共线、模长、零向量的概念，依次判断即得解 【解析】选项①，要保证，则，且方向相同，故①错误； 选项②，向量有大小和方向两个要素，不可比较大小，故②错误； 选项③，若，且大小相等，方向相同，故，故③正确； 选项④，若，则，故④错误 故答案为：③ 2．下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【解析】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 重点探究 一、向量基本概念的辨析 (1)向量具备方向和大小两个特征，求解问题时要同时考虑这两个方面. (2)共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量。另外，讨论共线向量时，不要忘记对零向量的讨论。 【例1】某人从A点出发向东走了5米