专题07 体积类问题一-备战2022年高考数学压轴题之立体几何真题模拟题分类汇编（强基计划）

专题07 体积类问题一 1．（2021•陕西模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若为等边三角形，求三棱锥的体积． 2．（2021•山西三模）如图，在正三棱柱中，分别是棱，的中点，点在侧棱上，且． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 3．（2021•东湖区校级三模）如图，四棱锥中，四边形为正方形，，，且与所成角． （1）求证：平面； （2）若、分别是、的中点，求三棱锥的体积． 4．（2021•兴庆区校级四模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，、分别是棱、的中点． （1）证明：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 5．（2021•金凤区校级三模）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙． （1）求证：平面平面； （2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2021•河南模拟）如图，在四棱锥中，，，． （1）证明：； （2）若平面平面，，经过，的平面将四棱锥分成的左、右两部分的体积之比为，求平面截四棱锥的截面面积． 7．（2021•红河州三模）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 8．（2021•曲靖模拟）如图所示，在四棱锥中，四边形是梯形，，，，，． （1）证明：； （2）求四棱锥的体积． 9．（2021•巴中模拟）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，，是棱的中点，是平面与棱的交点． （1）证明：平面平面； （2）设三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 10．（2021•新疆模拟）如图，已知四棱锥中，，，分别是，的中点，底面，且． （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 11．（2021•南海区校级模拟）如图，面，四边形是边长为1的为正方形；点在线段上，． （1）若面，求值； （2）若面，棱锥体积取得最大值，求四棱锥的高． 12．（2021•青羊区校级模拟）如图所示，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若点在上，且平面，求三棱锥的体积． 13．（2021•晋中三模）在三棱锥中，，分别是棱，上的点，且平面． （1）求证：平面； （2）若平面，，，记三棱锥与三棱锥的体积分别为，，且，求三棱锥的体积． 14．（2021•陕西模拟）如图，点是腰长为2的等腰直角三角形的底边的中点，于点，将沿折起，此时点记作点． （Ⅰ）当三棱锥的体积最大时，证明：平面平面； （Ⅱ）若二面角的大小为，求三棱锥的体积． 15．（2021•南充模拟）如图，在三棱柱中，，，顶点在底面上的射影为的中点，为的中点，是线段上除端点以外的一点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积是三棱柱的体积的，求的值． 16．（2021•山西二模）如图所示，在四棱锥中，，四边形为菱形，且． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 17．（2021•德阳模拟）如图，在多面体中，为菱形，，平面，平面，为的中点，若平面． （1）求证：平面； （2）若，求多面体的体积． 18．（2021•芜湖模拟）如图所示，五面体中，平面，，且，设． （1）当，时，求三棱锥的体积； （2）若，求的值． 19．（2021•江西模拟）长方形纸片中，，，，分别为，的中点，沿对角线把纸片折成空间四边形． （1）求四面体的外接球的表面积； （2）当折起到平面垂直于平面的位置时，求四面体的体积． 20．（2021•宁夏模拟）如图，在直三棱柱中，，为上的一点，，． （1）若，求证：平面． （2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求的值． 21．（2021•眉山模拟）如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别是，的中点． （1）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； （2）设是的中点，求四棱锥的体积． 22．（2021•陕西模拟）如图，在直三棱柱中，，是的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求四棱锥的体积． 23．（2021•安徽模拟）如图，三棱锥中，点在平面的投影为点，，，，点，分别是线段．的中点，点在线段上． （Ⅰ）若，求证：； （Ⅱ）若，平面，求四面体的体积． 24．（2021•广元模拟）如图，在三棱柱中，平面，，，，点是的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求三棱锥的体积． 25．（2021•昆明一模）如图，在三棱柱中，，平面平面，四边形为菱形． （1）证明：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积． 26．（2021•金安区校级模拟）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，点在底面内的投影恰为的中点． （1）证明：四边形为菱形