第10讲 导数之单调性、最值、极值-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第10讲 导数之单调性、最值、极值 【知识点总结】 一．函数单调性与导函数符号的关系 一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减. 二．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增； 单调递增； 单调递减； 单调递减. 三．函数极值的概念 设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点. 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 四．求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点. 为可导函数的极值点；但为的极值点. 五．函数的最大值、最小值 若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 六．求函数的最大值、最小值的一般步骤 设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【典型例题】 例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数．若图象上的点处的切线斜率为． （1）求a，b的值； （2）的极值． 【详解】 （1）解：， ， ； （2）解：由（1）得 ，令，得 或，， －1 （－1，3） 3 ＋ 0 － 0 ＋ 的极大值为，极小值为. 例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设，函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【详解】 （1）解：当时，，定义域为， ， ， 曲线在点处的切线方程为，即为. （2）解：因为，定义域为，所以， 当时，恒成立， 函数在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值；③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题． 题目：已知函数存在极值，并且______． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的最值 【详解】 选①： （1），所以，故； （2）由， 所以单调递增，故，． 选②： 因为，所以 由题意知，解得， 故， 经检验在时取得极大值，故符合题意，所以， （2），令，所以或，所以 或时，，单调递增；时，，单调递减；因此在单调递减，在单调递增，则，，，所以，； 选③： 由题意知，又因为， 所以，解得， 所以， （2），所以单调递增，故，． 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.