第04讲 函数的概念与表示-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)

第04讲 函数的概念与表示 第一关 知识梳理 知识点1 函数的有关概念 1．函数的概念 函数 两集合A，B A，B是两个非空数集 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识点2 函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围A叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域； (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数． 知识点3 函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 注：(1)在定义中，集合B不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集合B的子集； (2)若两函数的定义域与对应关系相同，则两函数相同； (3)若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y＝x2(x≥0)与y＝x2. 知识点4 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 注：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 第二关 解题策略 第三关 典例精析 考点一 求函数的定义域 函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。 ①求具体函数的定义域 求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化） （1）分式：分母不能为零； （2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） （3）零次幂：中底数； （4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； （5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为 若，则 （6）若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． （7）在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义 注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。 【例1】函数f（x）＝的定义域为（　　） A．{x|x＞0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1} 【解析】要使f（x）有意义，则：；解得x≥1； ∴f（x）的定义域为{x|x≥1}．故选：B． 变式1：(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是　________　. 【解析】3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，因此定义域为[－3,1]． 变式2：函数f（x）＝+的定义域为（　　） A．（1，2] B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）∪（1，2] 【解析】要使f（x）有意义，则：；∴x≤2，且x≠1； ∴f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2]．故选：D． 【例2】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【解析】，解得，选A．变式1：函数的定义域为( )。 A、 B、 C、 D、 【解析】，解得，故选C。 变式2：函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为　________　. 【解析】由⇒⇒0＜x≤2， 故所求函数的定义域为(0,2]． 【例3】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 变式1：函数y＝的定义域是（　　） A．（1，3] B．（1，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3） 【解析】要使函数有意义，则， 得，即1＜x＜3，即函数的定义域为（1，3）， 故选：B．