专题2 特色专题(二) 简单的递推数列（课件）-2022高考数学复习【金版新学案】大二轮专题复习与测试（新教材新高考）

金版新学案 · 高三二轮专题复习高效讲义 数 学（新教材） * 高三二轮专题复习高效讲义 专题二 数列 * 高三二轮专题复习高效讲义 特色专题(二)　简单的递推数列 高三二轮专题复习高效讲义 解：依题意有a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，逐项累加有an－a1＝1＋3＋…＋2n－3 ＝ eq \f(（1＋2n－3）（n－1）,2) ＝(n－1)2＝n2－2n＋1， 从而an＝n2－2n＋3. 高三二轮专题复习高效讲义 题型二　an＋1＝f(n)an型 【例2】已知数列{an}满足a1＝ eq \f(2,3) ，an＋1＝ eq \f(n,n＋1) ·an，求{an}的通项公式． 高三二轮专题复习高效讲义 解：由an＋1＝ eq \f(n,n＋1) ·an，得 eq \f(an＋1,an) ＝ eq \f(n,n＋1) ， 故an＝ eq \f(an,an－1) · eq \f(an－1,an－2) ·…· eq \f(a2,a1) ·a1＝ eq \f(n－1,n) × eq \f(n－2,n－1) ×…× eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(2,3n) ，即an＝ eq \f(2,3n) . 高三二轮专题复习高效讲义 【名师点评】把原递推公式转化为 eq \f(an＋1,an) ＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由 eq \f(a2,a1) ＝f(1)， eq \f(a3,a2) ＝f(2)，…， eq \f(an,an－1) ＝f(n－1)，累乘可得 eq \f(an,a1) ＝f(1)f(2)…f(n－1). 【对点集训·练透】 2．已知a1＝3，an＋1＝ eq \f(3n－1,3n＋2) an(n≥1)，求{an}的通项公式． 高三二轮专题复习高效讲义 解：an＝ eq \f(3（n－1）－1,3（n－1）＋2) · eq \f(3（n－2）－1,3（n－2）＋2) ·…· eq \f(3×2－1,3×2＋2) · eq \f(3－1,3＋2) a1＝ eq \f(3n－4,3n－1) · eq \f(3n－7,3n－4) ·…· eq \f(5,8) · eq \f(2,5) ·3＝ eq \f(6,3n－1) . 高三二轮专题复习高效讲义 题型三　an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型 【例3】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通项公式． 解：设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3， 故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3). 高三二轮专题复习高效讲义 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且 eq \f(bn＋1,bn) ＝ eq \f(an＋1＋3,an＋3) ＝2. 所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3. 【名师点评】对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)，比较系数可知t＝ eq \f(q,p－1) ，可令an＋1＋t＝bn＋1 换元即可转化为等比数列来解决． 高三二轮专题复习高效讲义 【对点集训·练透】 3．已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，求数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 的通项公式． 高三二轮专题复习高效讲义 解：∵an＋1＝2an＋1(n∈N*)， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1)) 是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋1＝2n， 即an＝2n－1(n∈N*). 题型四　an＋1＝ eq \f(Aan,Ban＋C) (A，B，C为常数)型 【例4】已知数列{an}的首项a1＝ eq \f(3,5) ，an＋1＝ eq \f(3an,2an＋1) ，n＝1，2，3，…，求{an}的通项公式． 高三二轮专题复习高效讲义 解：∵an＋1＝ eq \f(3an,2an＋1) ，∴ eq \f(1,an＋1) ＝ eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3an) ， ∴ eq \f(1,an＋1) －1＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1)) . 又 eq \f(1,a1) －1＝ eq \f(2,3) ， ∴ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1)