专题4 特色专题(五) 非线性回归问题（课件）-2022高考数学复习【金版新学案】大二轮专题复习与测试（新教材新高考）

金版新学案 · 高三二轮专题复习高效讲义 数 学（新教材） * 高三二轮专题复习高效讲义 专题四 概率与统计 * 高三二轮专题复习高效讲义 特色专题(五)　非线性回归问题 高三二轮专题复习高效讲义 其中vi＝lg yi， eq \o(v,\s\up15(－)) ＝ eq \f(1,7) eq \i\su(i＝1,n,v) i. 参考公式：对于一组数据 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u1，v1)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u2，v2)) ，…， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(un，vn)) ，其回归直线 eq \o(v,\s\up15(^)) ＝ eq \o(a,\s\up15(^)) ＋ eq \o(β,\s\up15(^)) u的斜率和截距的最小 高三二轮专题复习高效讲义 二乘估计公式分别为 eq \o(β,\s\up15(^)) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) eq \f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\o(u,\s\up15(－)) \o(v,\s\up15(－)),\i\su(i＝1,n,u)－n\o(u,\s\up15(－))2) ， eq \o(a,\s\up15(^)) ＝ eq \o(v,\s\up15(－)) － eq \o(β,\s\up15(^)) eq \o(u,\s\up15(－)) . 高三二轮专题复习高效讲义 解：(1)由散点图判断，y＝c·dx更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型． 由y＝c·dx，两边同时取常用对数得lg y＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c·dx)) ＝lg c＋x lg d. 高三二轮专题复习高效讲义 所以lg d＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) eq \f(\i\su(i＝1,7,x)ivi－7\o(x,\s\up15(－)) \o(v,\s\up15(－)),\i\su(i＝1,7,x)－7\o(x,\s\up15(－))2) ＝ eq \f(50.12－7×4×1.54,140－7×42) ＝ eq \f(7,28) ＝0.25. 高三二轮专题复习高效讲义 把(4，1.54)代入 eq \o(v,\s\up15(－)) ＝lg c＋ eq \o(x,\s\up15(－)) lg d，得lg c＝0.54， 所以 eq \o(v,\s\up15(^)) ＝0.54＋0.25x，所以lg eq \o(y,\s\up15(^)) ＝0.54＋0.25x， 则 eq \o(y,\s\up15(^)) ＝100.54＋0.25x＝3.47×100.25x， 故y关于x的回归方程为 eq \o(y,\s\up15(^)) ＝3.47×100.25x. (2)投入8千辆单车，则年使用人次为3.47×100.25×8＝347千人次， 每年的收益为347×(1－0.2)＝277.6(千元)， 总投资8 000×200＝1 600 000＝1 600千元， 假设需要n年开始盈利，则n×277.6>1 600，即n>5.76， 故需要6年才能开始盈利． 【名师点评】对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应数据的变化．常用步骤： (1)根据原始数据做出散点图； (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数； 高三二轮专题复习高效讲义 (3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程； (4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程． 高三二轮专题复习高效讲义 【对点集训·练透】 (2021·河南许昌模拟)我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十 二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令ui>x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ，vi＝ln yi(i＝1，2，…，10)，经计算得如下数据： 高三二轮专题复习高效讲义 eq \o(x,\s\up15(－)) eq \o(y,\s\up15(－)) eq \o(u,\s\up15(－)) eq \o(v,\s\up15(－)) 26 21