专题5 特色专题(六) 圆锥曲线问题的优化运算策略（课件）-2022高考数学复习【金版新学案】大二轮专题复习与测试（新教材新高考）

金版新学案 · 高三二轮专题复习高效讲义 数 学（新教材） * 高三二轮专题复习高效讲义 专题五 解析几何 * 高三二轮专题复习高效讲义 特色专题(六)　圆锥曲线问题的 优化运算策略 高三二轮专题复习高效讲义 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,\f(x2,4)＋y2＝1)) 消去x，得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0， 高三二轮专题复习高效讲义 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Δ＝64m2－4×12×(m2＋4)＝16(m2－12)>0，得m2>12.① 且y1＋y2＝－ eq \f(8m,m2＋4) ，y1y2＝ eq \f(12,m2＋4) .② 因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1，－y1)， 高三二轮专题复习高效讲义 可设Q(x0，0)，所以kBD＝ eq \f(y2＋y1,x2－x1) ＝ eq \f(y2＋y1,m（y2－y1）) ， 所以BD所在直线的方程为y－y2＝ eq \f(y2＋y1,m（y2－y1）) (x－my2－4). 令y＝0，得x0＝ eq \f(2my1y2＋4（y1＋y2）,y1＋y2) .③ 将②代入③， 得x0＝ eq \f(24m－32m,－8m) ＝1， 所以点Q的坐标为(1，0). 因为S△ABQ＝|S△TBQ－S△TAQ|＝ eq \f(1,2) |QT||y2－y1|＝ 高三二轮专题复习高效讲义 eq \f(3,2) eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2) ＝ eq \f(6\r(m2－12),m2＋4) ， 令t＝m2＋4，结合①得t>16， 所以S△ABQ＝ eq \f(6\r(t－16),t) ＝6 eq \r(－\f(16,t2)＋\f(1,t)) ＝6 eq \r(－16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－\f(1,32)))\s\up12(2)＋\f(1,64)) . 当且仅当t＝32，即m＝±2 eq \r(7) 时，(S△ABQ)max＝ eq \f(3,4) ， 高三二轮专题复习高效讲义 所以△ABQ面积的最大值为 eq \f(3,4) . 法二　依题意知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，0)， 由对称性知D(x1，－y1)， 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－4），,\f(x2,4)＋y2＝1)) 消去y，得(4k2＋1)x2－32k2x＋64k2－4＝0. 高三二轮专题复习高效讲义 由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋1)(64k2－4)>0， 得k2< eq \f(1,12) ，① 且x1＋x2＝ eq \f(32k2,4k2＋1) ，x1x2＝ eq \f(64k2－4,4k2＋1) ，② eq \o(BQ,\s\up15(→)) ＝(x0－x2，－y2)， eq \o(DQ,\s\up15(→)) ＝(x0－x1，y1). 高三二轮专题复习高效讲义 由B，D，Q三点共线知 eq \o(BQ,\s\up15(→)) ∥ eq \o(DQ,\s\up15(→)) ， 故y1(x0－x2)＋y2(x0－x1)＝0， 即k(x1－4)(x0－x2)＋k(x2－4)·(x0－x1)＝0， 整理得x0＝ eq \f(2x1x2－4（x1＋x2）,x1＋x2－8) .③ 将②代入③，得x0＝1，所以点Q的坐标为(1，0)， 高三二轮专题复习高效讲义 因为点Q(1，0)到直线l的距离为d＝ eq \f(3|k|,\a\vs4\al(\r(k2＋1))) ， |AB|＝ eq \r(1＋k2) · eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ， ＝ eq \f(4\r(1＋k2)·\r(1－12k2),4k2＋1) ， 所以S△ABQ＝ eq \f(1,2) |AB|·d＝ eq \f(6\r(k2－12k4),4k2＋1) ， 令t＝4k2＋1，则k2＝ eq \f(t－1,4) ， 结合①得1<t< eq \f(4,3) ， 所以S△ABQ＝ eq \f(6\r(－\f(3,4)t2＋\f(7,4)t－1),t) ＝3 eq \r(－\f(4,t2)＋\f(7,t)－3) 高三二轮专题复习高效讲义 ＝3 eq \r(－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－\f(7,8)))\s\up12(2)＋\f(1,16)) ， 当且仅当 eq \f(1,t) ＝ eq \f(7,8) ，即k＝± eq \f(\r(7),14) 时，(S△ABQ)max＝ eq \f(3,4) ， 所以△ABQ面积的最大值为 eq \f(3,4) . 【名师点