第02讲 等式的性质和不等式的性质-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)

第02讲 等式的性质和不等式的性质 第一关 知识梳理 知识点1 不等关系 1．两个实数比较大小的依据 (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N，n≥2)． 注：(1)同向不等式可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． 知识点2 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实数根x1， x2(x1<x2) 有两相等实 数根x1＝x2 ＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1 或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 知识点3 常用结论 1．倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，d>c>0⇒>. 2．分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0)； (2)假分数性质：>；<(b－m>0)． 3．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)＞0⇔f(x)g(x)＞0. 4．两个常用的结论 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 第二关 解题策略 本节思维导图： 第三关 典例精析 考点一 比较两个数(式)的大小 比较两数(式)大小的方法 作差法 作商法 原理 设a，b∈R，则a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a<b 设a>0，b>0，则>1⇒a>b；＝1⇒a＝b；<1⇒a<b 步骤 作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论 作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论 注意 利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形 作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等 【例1】已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M >N C．M＝N D．不确定 【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M >N. 变式1：若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p＜q　　　　　　　　 B．p≤q C．p＞q D．p≥q 【解析】选B　(作差法)p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)· ＝＝ 因为a＜0，b＜0， 所以a＋b＜0，ab＞0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，则p－q＜0，故p＜q. 综上，p≤q.故选B. 变式2：若实数m≠1，比较m＋2与的大小． 【解析】m＋2－＝＝， ∴当m＞1时，m＋2＞； 当m＜1时，m＋2＜. 变式3：设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 【解析】由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.故选B 【例2】若a＝，b＝，则a________b(填“＞”或“＜”)． 【解析】(作商法)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 变式1：已知a>0，且a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，则(　　) A．m≥n B．m>n C．m<n D．m≤n 【解析】由题易知m>0，n