第06讲 平面向量的正交分解及坐标表示-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第06讲 平面向量的正交分解及坐标表示 课程标准 课标解读 掌握平面向量的正交分解及坐标表 示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为用坐标来进行向量的运算奠定基础． 通过本节课的学习要求掌握平面向量的坐标表示，会求向量的坐标及模，掌握向量的正交分解，掌握向量的几何表示与代数表示. 知识点 平面向量运算的正交分解及坐标表示 （1）向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． （2）向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 【微点拨】（1）相等的向量坐标相同； （2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． （3）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相同． 【即学即练1】如图所示，向量 ， 的坐标分别是（ ） A．-3，2 B．-3.4 C．2，-2 D．2，2 【答案】C 【分析】 由数轴上向量的坐标的定义即可得出结果 , , 【详解】 由数轴上向量的坐标的定义可知 , , 所以向量 ， 的坐标分别是2，-2. 故选：C 【即学即练2】已知向量 =(1,0)， =(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量 ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得 =(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R， =(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R， =(x,y)，且 ≠ ，则 的始点是原点O； ④若x，y∈R， ≠ ，且 的终点坐标是(x,y)，则 =(x,y)． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据平面向量的基本定理、向量的坐标表示，及向量始点、终点与向量坐标的关系，即可判断各项的正误. 【详解】 由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使 ，①正确； 举反例， =(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误； 由向量可以平移，所以 =(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误； 当 的终点坐标是(x,y)时， =(x,y)是以 的始点是原点为前提的，④错误． 故选：A 【即学即练3】平面直角坐标系中， 的坐标（ ） A．与点 的坐标相同 B．与点 的坐标不相同 C．当 与原点 重合时，与点 的坐标相同 D．当 与原点 重合时，与点 的坐标相同 【答案】C 【分析】 根据直角坐标系中，由向量的坐标表示，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】 A：仅当 点与原点重合时，向量与点 的坐标相同，错误； B：只有当 点不与原点重合时，向量与点 的坐标不相同，错误； C：如A中描述，正确； D：当 与原点 重合时， 的坐标值与 的对应坐标值互为相反数，错误. 故选：C． 【即学即练4】已知 为坐标原点，若点 的坐标 ，向量 ，则（ ） A．点 与点 重合 B．点 在直线 上 C． 的位置向量为 D． 【答案】C 【分析】 由条件可得 ，然后可判断出答案. 【详解】 因为 为坐标原点，点 的坐标 ，向量 所以 ，所以 的位置向量为 ，故C正确，D错误 其中点 的位置定不了，可以移动，故A，B错误 故选：C 【即学即练5】已知点 ， ，点P在线段AB上，且 ，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设P点坐标为 ，根据 得 解方程组即得点P的坐标. 【详解】 由点P在线段AB上，且 知 ， 设P点坐标为 ，则 ，即 解得 即P点坐标为 ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【即学即练6】已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且 ，则P点的坐标为(　　) A．(－8,1) B． C． D．(8，－1) 【答案】B 【分析】 由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】 解：设P(x，y)，则 ＝ (x－3，y＋2)，而 ＝ (－8,1)＝ ， 所以 ，解得 ，即 ， 故选B. 【点睛】 本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 【即学即练7】已知A(2,0)， ＝(x＋3,x－3y－5)，若 ，其中O为原点，则x＝________，y＝________. 【答案】-1 -2 【分析】 ，由向量的坐标表示计算即可得出结果. 【详解】 因为A(2,0)， ＝(x＋3,x－3y－5)， ， 所以 解