第09讲 含参不等式的恒成立问题-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)

第09讲 含参不等式的恒成立问题 第一关 知识梳理 知识点1 几种常用的解决恒成立问题的方法 ①函数性质法 （1）一次函数——单调性法 给定一次函数,若在内恒有,则根据函数的图像可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成 同理,若在内恒有,则有 （2）二次函数——利用判别式 ①一元二次不等式在R上的恒成立问题 设 上恒成立；（2）上恒成立． ②一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题 二次函数在区间D上大于(小于）零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。 “同号要分类，异号看端点” 设 （1）当时，上恒成立 上恒成立 （2）当时，上恒成立 上恒成立 （3）其它函数： 恒成立（注：若的最小值不存在,则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在,则恒成立的上界小于0）． ②分离参数法——极端化原则 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围． ③主参换位——反客为主法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果． ④数形结合——直观求解法 若所给不等式进行合理的变形化为（或）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷． 第二关 解题策略 本节思维导图： 第三关 典例精析 考点一 函数性质法 【例1】已知函数f(x)=(m-1)x+3-2m，对于x∈[0,1]时，都有f(x)>0,求m的取值范围。 【解析】方法一（分情况讨论）当x∈[0,1]时，都有f(x)>0,则需： 解得：，或，或。 所以。 方法二（整体把握） 当x∈[0,1]时，都有f(x)>0,只需： 解得：所以。 【例2】已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，8） B．（﹣∞，0） C．（8，+∞） D．（3，+∞） 【解析】不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，△＝a2﹣8a＝a（a﹣8）＜0， 即a∈（0，8），故选：A． 变式1：已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解析】∵不等式对任意实数,或解得． 故选：D 变式2：已知不等式ax2+ax+4﹣2a＞0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解析】①a＝0，4＞0恒成立②解得0＜a＜， 综上a的范围是[0，），故选：C． 变式3：若不等式x2﹣2x+3≥a2﹣a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣1，2] D．[﹣1，3] 【解析】不等式x2﹣2x+3≥a2﹣a即不等式x2﹣2x﹣a2+a+3≥0对任意实数恒成立， ∴△≤0，化为4﹣4（﹣a2+a+3）≤0，解得﹣1≤a≤2． ∴实数a的取值范围是[﹣1，2]． 故选：C． 变式4：已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣） B．（） C．（﹣∞，0），+∞） D．（﹣∞，），+∞） 【解析】根据题意，定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，＝， 有f（0）＝0，且函数f（x）在[0，+∞）上为增函数， 又由f（x）是奇函数，则函数f（x）在（﹣∞，0]上也是增函数， 故函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数， 则不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）等价为﹣4t＞2m+mt2对任意实数t恒成立， 即mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立， 若m＝0，则不等式等价为4t＜0，即t＜0，不满足条件， 若m≠0，则要使mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，必有， 解可得：m＜﹣，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）； 故选