专题11 导数中的极值偏移问题-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

2022年高考数学二轮典型专题解析 专题11导数中的极值偏移问题 考点解读 如图所示，为函数的极值点，处对应的曲线的切线的斜率为 极值点左移：，处切线与轴不平行 极值点右移：，处切线与轴不平行 由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有；当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有。当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有。 如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，和处对应的函数值相等，我们可以作关于的对称点，则，且，故，即，故我们可以构造函数，只需要判断函数的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足，我们就可以得到。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。 解题顺序： （1）求极值点； （2）构造函数； （3）判断极值点左移还是右移； （4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较和大小，然后在极值点右侧区间利用单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较和大小，然后在极值点左侧区间利用单调性，得出结论； （5）若极值点求不出来，由，使用替换的思想，简化计算步骤. 专题强化 一、单选题 1．关于函数，下列说法错误的是（ ） A．是的极小值点 B．函数有且只有个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 【答案】C 【解析】对于A选项：定义域为，， 时,时， 是的极小值点，A正确； 对于B选项：令， 在上递减，， 有唯一零点，B正确； 对于C选项：令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D选项：由A选项知，在上递减，在上递增， 因正实数，，且，，则， 时，令， ， 即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：C. 2．关于函数，下列说法正确的是（ ） A．是的极大值点 B．函数有2个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 【答案】D 【解析】对A，，函数在单减，在单增， 是的极小值点，A错误； 对B，，函数在单减，至多一个零点，B错误； 对C， ，令，则， 设，则，函数在单增，在单减， 所以，∴， 则函数在单减，无最小值，且当时，，C错误； 对D，不妨设，易知， ，且， 因为函数在单增，则， 即证：，记， 所以，所以在单减，所以， 即，所以，D正确. 故选：D. 3．已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 且当时，，如下图所示： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 对于A选项，由已知可得，消去可得，A对； 对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错； 对于C选项，设，因为，则， 所以，，， 则， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增，故，C对； 对于D选项，， 构造函数，其中 ，则， 所以，函数在上单调递减，则 ，D对. 故选：ACD. 4．关于函数，则下列结论正确的是（ ） A．存在正实数k，使得恒成立 B．函数有且只有1个零点 C．是的极小值点 D．对任意两个正实数，且，若， 【答案】BCD 【解析】若恒成立，则，令，则，令，则，当时，，当时，，所以，即，所以在上递减，无最小值，所以不存在正实数k，使得恒成立，故A错误； 对于函数，其定义域为，由于，由可得，当时，，当时，，可知是的极小值点，选项C正确； 设，则，可知在上单调递减，又，所以方程有且仅有一个根，即函数有且只有1个零点，选项B正确； 由是的极小值点，可知若时，，易知，则，令，则，则，则在上单调递减，，故，又在上单调递增，则，故，选项D正确， 故选：BCD． 5．关于函数，下列说法正确的是（ ） A．函数的极小值为 B．函数有且只有个零点 C．存在负实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数、，且，若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，函数的定义域是，且，， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增，，故A正确； 对于B，令，则， 令，则， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 故， 故，故函数在上单调递减， 又，， 故函数有且只有个零点，故B正确； 对于C，设， 若时，， 记，由二次函数的基本性质可知， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，， 因此，不存在实数，使得恒成立，C选项错误； 对于D：设，，结合A选项可知，， 构造函数，其中， 则， 所以，函数在上单调递减， ，，则，所以，， 即， 因为函数在上单调递增，所以，，因此，，D