专题10 利用导数研究函数的极值-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

-2022年高考数学二轮典型专题解析 专题10 利用导数研究函数的极值和最值 考点解读 考纲解读 （1）函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,为中高档题.高考对函数极值的考查主要有以下几个命题角度: ①判断函数极值的情况; ②已知函数求极值. （2）函数的最值是高考的热点内容,考查函数最值的同时必然涉及函数单调性,还会涉及方程和不等式,题型既有小题,也有大题,有一定难度. （3）利用导数及函数的极值或最值情况求参数的取值范围在高考中也是热点,这类问题涉及函数的单调性,往往需要对参数进行分类讨论,如何划分参数讨论的区间成为思维的难点,这类题综合性强,属于难题. 1.利用导数求函数极值的步骤 2.利用导数求函数最值的步骤 方法归纳 已知函数的极值或最值情况求参数的取值范围的方法:根据函数的极值和最值的关系,与最值有关的问题都可以转化为极值问题.已知f（x）在某点x0处有极值,求参数的取值（范围）时,应逆向考虑,可先将参数当作常数,按照求极值的一般方法求解,再依据极值与导数的关系,列等式（不等式）求解;也可以根据函数在该点的导数f'（x0）=0列出等式（不等式）,再根据极值与导数的关系及题意进行求解. 技巧总结 对于解析式中含有参数的函数求极值,有时需要分类讨论后解决问题.讨论的主要思路: （1）参数是否影响f'（x）零点的存在; （2）参数是否影响f'（x）不同零点（或零点与函数定义域中的间断点）的大小; （3）参数是否影响f'（x）在零点左右的符号.如果有影响,需要分类讨论. 规律提炼 （1）求可导函数的极值,实质上是解方程f'（x）=0,然后列表即可. （2）导数为0的点不一定是极值点.如函数f（x）=x3在x=0处的导数是0,但它不是极值点.对于可导函数,极值点的导数必为0. 【例题】已知函数f（x）=-x+aln x. （1）讨论f（x）的单调性; （2）若f（x）存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2. 【解析】（1）f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=--1+=-. ①若a≤2,则f'（x）≤0,当且仅当a=2,x=1时,f'（x）=0,所以f（x）在（0,+∞）单调递减. ②若a>2,令f'（x）=0,得x=或x=. 当x∈∪时,f'（x）<0; 当x∈时,f'（x）>0. 所以f（x）在,单调递减,在 单调递增. （2）由（1）知,若f（x）存在两个极值点,则a>2. 由于f（x）的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0, 所以x1x2=1,x1+x2=a,不妨设x1<x2,则x2>1, 由于=--1+a·=-2+a·=-2+a·, 所以<a-2等价于-x2+2ln x2<0. 设函数g（x）=-x+2ln x, 由（1）知,g（x）在（0,+∞）单调递减, 又g（1）=0,从而当x∈（1,+∞）时,g（x）<0, 所以-x2+2ln x2<0,即<a-2. 专题强化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】解：函数在处取得极小值 所以，即 解得：， 由得： 当和时，，即单调递增 当时，，即单调递减 所以的极大值为，极小值为 由得：或 由得：或 若，，使得，且， 则 故选：C. 2．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，且，由有两个极值点， ∴令，则在上有两个不等的实根，， ∴，，且，得. 又，且， ∴，，即， ∴， 令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立， ∴，即递增，故， ∴. 故选：B 3．对于函数有下列四个结论：①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④若在上恒成立，则.其中正确的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时取得极大值，故A正确； 因为在上单调递增，且， 所以在上有一个零点1， 当是，恒成立，无零点． 因此函数只有一个零点，故B错误； 因为，且在上单调递减， 所以，故C正确； 因为，所以， 设，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取极大值也是最大值． 所以．故D正确．所以正确的有3个， 故选：C. 4．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，且，若在上有极值点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， ∴，，故， ∴，又， ∴，即，则， ∵在上有极值点， ∴在上有零点，且，， 则，即. 故选：C 5．设函数，若为的一个极值点，