专题08 利用导数研究函数的单调性-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

专题8利用导数研究函数的单调性 考点解读 单调性是导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性.利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点，经常在解答题 方法总结 1.讨论函数f(x)的单调性的方法 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求导数f'(x)，并求方程f'(x)=0的根； （3）利用f'(x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'(x)的正负，由符号确定f(x)在该子区间上的单调性. （4）利用导数求函数单调区间的步骤: 2.证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的方法 （1）求f'(x)； （2）确认f'(x)在(a，b)内的符号； （3）推出结论:f'(x)>0为增函数，f'(x)<0为减函数. 3.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在区间[a，b]上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围； （2）可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围； （3）若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围. 温馨提示：应用结论“若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f'(x)≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在某区间上恒为0. 专题强化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设是函数的图象上任意一点，其关于直线的对称点为在的图象上，所以，其定义域为，而为奇函数，所以，即，即，而易知函数，当且仅当时取等号，所以，即，故，易知函数在上递增，所以的解集为． 故选：D． 2．关于函数，，下列说法错误的是（ ） A．当时，函数在上单调递减 B．当时，函数在上恰有两个零点 C．若函数在上恰有一个极值，则 D．对任意，恒成立 【答案】D 【解析】对于A，，则， 当时，，，，单调递减； 当时，，，，单调递减； 综上所述：在上单调递减，A正确； 对于B，，令，得：； 在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点， 函数在上恰有两个零点，B正确； 对于C，由得：， 若在上恰有一个极值，则在上恰有一个变号零点， 即在上恰有一个解， 令，则； 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 又，，，可得大致图象如下， 若在上恰有一个解，则， 此时函数在上恰有一个极值，C正确； 对于D，当时，由B选项可知，，使得， 当时，，即，D错误. 故选：D. 3．设函数，定义在上的连续函数使得是奇函数，当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，等价于， ∵当时，，即， ∴在上递减，又是奇函数， ∴在上递减，又连续， ∴在上递减，则，可得. 又的定义域为，且，即在定义域上递增， ∴题设条件为：存在使，即使， ∴在上有解，则在上有零点， 由，即递增，又，且时， ∴只需，即即可. 故选：B 4．已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设，（），，（） ∵，∴， 即，∴ 对于，其导数， ∵，，则有在区间上单调递增； 所以，即，变形可得； 对于，其导数， ∵时，，则在区间上单调递减； 则有，即，变形可得， 综合可得：，即的范围为. 故选：B. 5．已知定义在上的奇函数，且当时，，记，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以且， 解得，， 当时，单调递增，而， 所以函数在定义域上增函数， ， 因为，所以有，因此， 所以，因此， 因为，所以，所以， 因此，即，所以， 故选：C 6．偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，所以， 所以 所以是周期函数，且周期为8，且关于对称， 又当时，， 则， 令，解得， 所以当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 作出一个周期内图象，如图所示： 因为为偶函数，且不等式在上有且只有200个整数解， 所以不等式在内有