专题03 函数与方程-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

专题3函数与方程 考点解读 1．对函数零点的理解 （1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点． ②若函数在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点． ③若函数在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件． 注意：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。 2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根． （2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根． 注意：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。 3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题 （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根． 【例题】二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A.1　　B.2　　C.0　　D.无法确定 【解析】 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴函数有两个零点，选B. 【答案】选B. 专题强化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 所以，函数和函数在上的图象有个交点， 因为对任意的，都有，即， 所以，函数是周期为的周期函数， 因为是定义在上的偶函数，且当时，，则. 作出函数和函数在上的图象如下图所示： 要使得函数和函数在上的图象有个交点， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 2．已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵当时，， ∴当时，， 综上，， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ∵有三个不同的实数根， ∴的图像和直线有三个不同的交点， 作的大致图像如图所示， 当直线和的图像相切时，设切点为， ∴，可得，，代入，可得， 当过点时，， 由图知，实数的取值范围为. 故选：D. 3．已知函数.若函数有四个零点，则实数a的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 函数，函数性质分段讨论如下： 当时，最小值为-1， 当时，令解得： ， 所以函数递减，函数递增,且 时， 综合以上分析，作出函数图象，如图. 由图可知，函数有两个零点，和（*）， 再考察函数的零点，由（*）可知，或，即或根据题意，这两个方程共有四个根，结合函数图象，解得，. 故选：B 4．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 5．已知函数，若函数，则下列结论正确的是（） A．若没有零点，则 B．当时，恰有1个零点 C．当恰有2个零点时，的取值范围为 D．当恰有3个零点时，的取值范围为 【答案】D 【解析】作出的图象，如图所示： 令，即， 可得或，即或， 当时，和均无解，此时无零点， 当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零点，故A错误； 当时，图象与图象有2个交点，即有2个根， ，图象与无交点，即无解，此时有2个零点； 当时，图象与图象有3个交点，即有3个根， ，图象与无交点，即无解，此时有3个零点； 当时，图象与图象有2个交点，即有2个根， 图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误 当时，图象与图象有1个交点，即有1个根， ，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点； 当时，图象与图象有1个交点，即有1个根， ，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点； 当时，图象与图象有1个交点，即有1个根， 图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点； 当时，图象与图象有1个交点，即有1个根， ，图象与图象有1个交点，即有1个根，此时有2个零点，故C错误； 综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确