第15讲 菱形的性质与判定-【寒假自学课】2022年八年级数学寒假精品课（苏科版）

第15讲 菱形的性质与判定 【学习目标】 1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法.(重点) 2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点) 3．掌握菱形的判定方法.(重点) 4．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点) 【基础知识】 知识点1:菱形的定义与性质 1.定义∶有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 注意： （1）菱形必须满足两个条件∶一是平行四边形;二是一组邻边相等.二者必须同时具备，缺一不可. （2）菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法. 2.性质∶ （1）菱形的四条边都相等. （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （3）菱形具有平行四边形的一切性质. （4）菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线. （5） 利用菱形的性质可证线段相等，角相等. （6）菱形的面积计算∶ ①菱形的面积等于底乘高. ②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算. 3.易错∶ （1）菱形和矩形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等; （2）矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形.而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形; （3）菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，不要误认为两条对角线是它的对称轴. 知识点2:菱形的判定 判定方法∶ （1）定义法:有一组邻边相等的平行四边形是菱形; （2）边∶四条边相等的四边形是菱形; （3）对角线∶对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 注意： （1）判定菱形时，一定要明确前提是从"四边形"出发的，还是从"平行四边形"出发的∶∶ ①若从"四边形"出发，则还需四条边相等; ②若从"平行四边形"出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （2）判定菱形的方法∶ ①用对角线进行判定∶先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分; ②用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 【考点剖析】 考点一：根据菱形的性质求长度、角度、面积 例1. 如图，在菱形 中， ，点 在 上，若 ，则 __________． 【答案】115° 【解析】 解：四边形ABCD是菱形， ， ∴AB∥CD， ∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE= ∠BCD=65°， ∵ ， ∴∠ACE=∠AEC=65°， ∴∠BAE=180°-∠AEC=115°． 例2. 如图所示，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ．OE⊥AB，垂足为 ，若 ，则 的大小为____________． 【答案】65° 【解析】 在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°﹣130°=50°，∴∠BAO ∠BAD 50°=25°． ∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°﹣∠BAO=90°﹣25°=65°． 故答案为65°． 例3. 如图，菱形 的周长为24，对角线 与 交于点O， ，则 _________． 【答案】 【解析】 菱形 的周长为24， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 四边形 是菱形， ， ， ． ． 故答案为： ． 例4. 如图，菱形 中，对角线 、 交于点O，E为 边中点，菱形 的面积为24， ，则 的长等于________． 【答案】 【解析】 解： 菱形的对角线、 交于点 ， ， ， 菱形 的面积为24， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 又 ， ， 又 为 边中点， ， 故答案为： ． 例5. 已知菱形的两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为________． 【答案】4 【解析】 解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得： 面积= =4， 故答案为：4． 例6. 如图，菱形 的周长为 cm，对角线 、 相交于点 ， cm，求对角线 的长和菱形 的面积． 【答案】 cm ，面积24 cm2 【解析】 菱形周长为20cm，则AB=5cm， ∵AC=8cm， ∴AO=4cm， ∵菱形对角线互相垂直， ∴△AOB为直角三角形， 在Rt△AOB中，BO= =3cm， ∴BD=2BO=6cm， ∴菱形ABCD的面积为S= ×6cm×8cm=24cm2， 答：菱形ABCD对角线BD长为6cm，面积为24cm2． 考点二：根据菱形的性质证明 例7. 如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：BE＝BF． 【答案】见解析 【解析】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC，AB＝BC，∠A＝∠C． ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠