第14讲 矩形的性质与判定-【寒假自学课】2022年八年级数学寒假精品课（苏科版）

第14讲 矩形的性质与判定 【学习目标】 1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点) 2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点) 3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点) 4．掌握矩形的判定方法；(重点) 5．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点) 【基础知识】 知识点1:矩形的定义和性质 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形也叫长方形. 注意： （1） 由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2） 矩形必须具备两个条件： ①它是一个平行四边形； ②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. 2.性质∶ （1）矩形具有平行四边形的所有性质. （2）矩形的对角线相等. （3）矩形的四个角都是直角. （4）矩形是轴对称图形， 如图所示，邻边不相等的矩形有两条对称轴.矩形也是中心对称图形. 知识点2:矩形的判定 1.矩形的判定∶ 方法一（定义判定）∶有一个角是直角的平行四边形是矩形; 方法二（角判定）∶有三个角是直角的四边形是矩形; 方法三（对角线判定）∶对角线相等的平行四边形是矩形;或对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 注意： （1） 矩形的判定与性质是互逆定理. （2） 判定矩形的常见思路∶ 2.易错： （1）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形.也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形. （２）用“对角线相等的平行四边形是矩形”判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形.也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形. 知识点3:两条平行线之间的距离 1.定义：两条平行线中，一余直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 注意：（1）点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度; (2)三种距离之间的区别与联系 类别 两点间的距离 点到到直线的距离 两条平平行线间间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度 2.性质∶如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. 注意： （1）因为平行线间的距离处处相等，所以在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置;（注∶平行线的这一性质常用来解决三角形中同底等高的问题） （2）平行线的位置确定后，它们之间的距离就是定值（是正值），不随垂线段位置的改变而改变. 数学表述∶如图，A，C是l1上任意两点，∵l1//l2，ABl2于B，CDl2于D，AB=CD. 3.拓展∶ （1）夹在两条平行线间的任何平行线段都相等; （2）等底等高的三角形的面积相等. 【考点剖析】 考点一：利用矩形的性质求长度、角度、面积 例1. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，求∠BAE的度数. 【答案】∠BAE＝22.5°. 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB═OC， ∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA， ∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD， ∵∠EAC＝2∠CAD， ∴∠EAO＝∠AOE， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴∠OAB＝∠OBA＝ （180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5° 例2. 如图，在矩形 中，对角线 与 交于点O， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，求 的度数． 【答案】45° 【解析】 解： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 平分 ， ， 又 ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ∴ 的度数为45°． 例3. 如图，在矩形 中， ，对角线 与 相交于点O， ，垂足为E， ．求 的长． 【答案】3 【解析】 解：∵四边形 是矩形， ∴OB＝OD ，OA＝OC ，AC＝BD， ． ∴ ， ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ， 即 是等边三角形． ∴ ． ∴ ． 在 中， ∵ ， ， ∴ ． 例4. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______． 【答案】 【解析】 解：连接OP，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，OA=OC