第03讲 勾股定理-【寒假自学课】2022年八年级数学寒假精品课（苏科版）

第03讲 勾股定理 【学习目标】 1．探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力； 2．理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．(重点、难点) 3．利用拼图的方法验证勾股定理；(重点) 4．掌握勾股定理及其简单应用．(难点) 5．掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用；(难点) 6．理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律．(重点) 7．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．(重点) 【基础知识】 1、勾股定理： 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。 2、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数： 满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13。  4、简单运用： ⑴勾股定理——常用于求边长、周长、面积； 理解：①已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。      ②用于证明线段平方关系的问题。 ③利用勾股定理，作出长为 的线段 ⑵勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状； 理解：①确定最大边（不妨设为c）；  ②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；  若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；   若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） ⑶难点：运用勾股定理立方程解决问题。 【考点剖析】 考点一：勾股定理解长度、周长、面积问题 例1.（2021·江苏江都·八年级阶段练习）一个直角三角形两边长为6和8，则第三边长为________． 【答案】 或 【解析】 解：由题意，分以下两种情况： （1）当边长为8的边是斜边时， 则第三边长为 ； （2）当边长为8的边是直角边时， 则第三边长为 ； 综上，第三边长为10或 ， 故答案为：10或 ． 例2.（2021·江苏·沭阳县怀文中学八年级阶段练习）若△ABC中， cm， cm，高 cm，则BC的长为________cm． 【答案】28或8 【解析】 解：如图（1） cm， cm， ， 则 ， ， 则 ； 如图（2）， 由（1）得 ， ， 则 ． 则 的长为 或 ． 故答案为 或 ． 例3.（2021·江苏滨海·八年级期中）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2． 【答案】 【解析】 解：设三边分别为5x，12x，13x， 则5x+12x+13x＝60， ∴x＝2， ∴三边分别为10cm，24cm，26cm， ∵102+242＝262， ∴三角形为直角三角形， ∴S＝10×24÷2＝120cm2． 故答案为：120． 例4.（2021·江苏宝应·八年级期中）已知直角 面积为24，斜边中线是5，则它的周长是__________． 【答案】24 【解析】解：斜边上的中线长为5， 则斜边长是10， 设两直角边是 ， ． 则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （舍）， ∴ ， ∴三角形周长为 ， 故答案是：24． 例5.（2021·江苏·洪泽外国语中学八年级阶段练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是______． 【答案】45° 【解析】 解：延长 到点 ，使得 ，连接 ，如下图： 由勾股定理得： ， ， ∴ ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， 故答案为： ， 例6.（2021·江苏江宁·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿EF翻折，点A恰好落在边BC的中点D处．求AE的长． 【答案】AE的长为 ． 【解析】 设AE的长为x，由翻折可知：DE＝AE＝x，EC＝6－x． ∵D是BC的中点， ∴CD＝ BC＝ ×8＝4． ∵在Rt△CDE中，∠C＝90°，EC2＋DC2＝ED2． ∴(6－x)2＋42＝x2． 解得x＝ ． 答：AE的长为 ． 考点二：勾股定理逆定理 例7．（2021·江苏宿迁·八年级期中）已知 、 、 满足 ，试判断以 、 、 为三边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析 【解析】 解：是直角三角形．理由如下： ∵ ∴ ， 解得 ∵ ∴ ∴以 、 、 为三边长的三角形是直角三角形． 例8．（2021·江苏丹阳·八年级期中）如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m． （1）判断△ACD的形状； （2）求这块绿地ABCD的面积． 【答案】（1）直角三角形；（2） 【解析】 解：（1） 是直角三角形， 理由是：由