专题09 命题、定理、证明问题 --2021-2022学年七年级数学之相交线与平行线各类型问题解法攻略（人教版）

专题09 命题、定理、证明问题 1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论； 2. 会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用。 一、命题的定义与结构 1.命题的概念： 一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．判断一件事情的语句，叫作命题。 注意：（1）只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题。如：相等的角是对顶角。 （2）如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。如：画线段AB=CD. 2.命题的结构: 命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. （1）“如果”后接的部分是题设, （2）“那么”后接的部分是结论。 如命题：熊猫没有翅膀.改写为：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀. 注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。 3.命题的组成： （1）题设（已知事项） （2）结论（由已知事项推出的事项） 4.逆命题 （1）把原命题的结论作为命题条件，把原命题条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题． （2）在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫它的逆命题． （3）正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论． （4）每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题． 二、真命题与假命题 1. 真命题：正确的命题叫真命题。即如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 2. 假命题：错误的命题叫假命题。即如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 3.方法总结 (1)判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断． (2)辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 三、证明与举反例 1. 证明：一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 2.证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 3.这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法. 4.从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析。 5. 举反例：说明一个命题是假命题只需要举出一个反例即可。 例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角. 四、公理的概念 1.公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据。这样的真命题叫做公理. 2.几个公理的实例 直线公理：两点确定一条直线。 线段公理：两点间线段最短。 平行线公理：经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行。 五、定理的概念 1. 定理：有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据. 2.几个定理的实例 （1）补角的性质：同角或等角的补角相等. （2）余角的性质：同角或等角的余角相等. （3）对顶角的性质：对顶角相等. （4）垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短. 六、推论 由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。 七、反证法（拓展，了解一下即可） 1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 3.适合用反证法解决问题的情况 ①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法． ②矛盾的类型：a．与已知定义、定理、公理相矛盾；b．与已知条件相矛盾；c．推出自相矛盾的结果． ③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法证明时，每一 步都要有依据，直到推出矛盾． 【例题1】判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命