第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优版）-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优版）解析版 1．A 【分析】 由正弦定理可得，再在中由余弦定理化简得出，即可求出. 【详解】 因为，所以， 在中，由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理得 ， 因为，所以， 则当，即时， 取得最大值为. 故选：A. 2．C 【详解】 由题意可知， , ， 由点是斜边的中点，可知 故选：C 3．A 【分析】 根据题意，结合余弦定理得，，，再根据公式求解即可. 【详解】 解：∵， 又∵，∴. ∴（当且仅当时取等号）. ∴. ∴面积的最大值为. 故选：A. 4．B 【分析】 由垂直的数量积表示得，再把模的运算转化为数量积计算． 【详解】 由已知，， ， 所以． 故选：B． 5．C 【分析】 利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解. 【详解】 由，， 则，， ， 设与的夹角余弦值为， 所以 . 故选：C 6．D 【分析】 根据题意可得，再利用数量积的定义化简求出. 【详解】 在平行四边形ABCD中，, 所以 . 故选：D. 7．A 【分析】 以点A为原点，建立如图的直角坐标系，设，，由求得，再由解得，从而可得答案. 【详解】 解：以点A为原点，建立如图的直角坐标系，依题意，，不妨设，则， 则，设，则由得， 所以，即，， 又，所以，因为，解得，所以， 故选：A. 8．C 【分析】 由正弦定理化角为边后，由余弦定理求得，然后分类讨论：或求解． 【详解】 由正弦定理，可化为： ，即， 所以，，所以， 又为直角三角形， 若，则，，，， 若，则，，，． 故选：C． 9．ABC 【分析】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积的坐标运算可求得点轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据轨迹与正方形有个交点可确定半径的取值范围，解出的范围后即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，可建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设，则，， ， ，满足题意的有个，，即， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆，且与正方形有个不同交点， 正方形外接圆半径，内切圆半径， ，解得：，可能的取值为. 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：解决平面几何中的向量数量积问题，通常采用建立平面直角坐标系的方法，将问题转化为平面向量的坐标运算来进行求解. 10．ACD 【分析】 根据欧拉线定理可判断A；利用向量的加、减运算可判断B；利用向量的数量积可判断C；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断D. 【详解】 A，由题意可得，即，故A正确； B，由是的重心可得, 所以，故B错误； C，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图， 易知分别是的中点，则 ，故C正确； D，因为是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可得, 所以，故D正确. 故选：ACD 11．ABC 【分析】 利用条件及向量的加法运算可判断AC，利用数量积可判断BD. 【详解】 ∵， ∴即， ∴当时，，故A正确； 由可得，故B正确； 当时，，D与C重合，的面积最大，故C正确； 当时，， ∴ ，故D错误. 故选：ABC. 12．ABD 【分析】 将两边同时平方可得即可判断A；由判断是否成立可判断B；计算，的夹角可判断C；举反例可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A，若，则，得，所以不成立，故选项A不正确，为假命题； 对于B：若，则，因为， ，所以，所以不成立， 故选项B不正确，为假命题； 对于C：由选项A的解析可知：若，则， 因为，所以，所以， 所以，是方向相反的两个向量，即，共线，所以存在实数，使得， 故选项C为真命题； 对于D：取实数，使得，则，而，此时，所以选项D不正确，为假命题， 故选：ABD. 13． 【分析】 余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出的值，然后利用锐角三角形，排除一个答案. 【详解】 由余弦定理得：，而由得：，因为是锐角三角形，所以，故，解得：或19，当，即时，，由大边对大角得：最大角为，，故为锐角，符合要求； 当，时，由大边对大角得：最大角为，，故为钝角，不合题意，舍去 故答案为： 14． 【分析】 过圆心作于点，根据几何法求出的长，进而可得点的轨迹为圆，求出直线恒过定点，由圆的性质可得，再由即可求解. 【详解】 因为线段是圆的一条动弦，过圆心作于点， 则为中点，又，则， 即点的轨迹为圆， 直线可化为，则直线恒过定点， 因为，由可知， 所以. 故答案为：. 15． 【分析】 通过三角形的面积公式，再结合余弦定理即可求得答案. 【详解】 由题意，，由余弦定理可知：，因为，所以. 故答案为：. 16． 【分析】 设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解. 【详解】 设，，，，，， 则，， 整理得：，所以， 则，解得：， 所以， 故答案为：. 17． （1）； （2）. 【分析】 (1)