17.1.3 勾股定理的折叠+应用问题-简单数学之2021-2022学年八年级下册考点专训（人教版）

17.1.3 勾股定理的折叠+应用问题 一、单选题 1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）． A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】 由翻折易得DB=AD，根据勾股定理即可求得CD长，再在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解． 【详解】 解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB 设BD为x，则CD=8-x， ∵∠C=90°，AC=4，BC=8， ∴AC2+BC2=AB2 ∴AB2=42+82=80， ∴AB=， ∴BE=， 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ， ∴42+(8-x)2=x2，解得x=5， 在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2， 即()2+DE2=52， ∴DE=， 故选：B． 【点睛】 本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键． 2．（2021·陕西·榆林十二中九年级期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ） A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 【答案】A 【分析】 根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】 将此长方形折叠，使点与点重合，， ， 根据勾股定理得：， 解得：． ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 3．（2021·江苏·镇江市江南学校八年级期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【答案】A 【分析】 根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度 【详解】 解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得 D=AD=5， 在Rt△CD中，D2=C2+CD2， 即52=（5-B）2+32， 解得B=1，. 当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3， 则点A'B最小值和最大值分别为1和3 故选：A 【点睛】 本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 4．（2021·广东·深圳市新华中学八年级阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ） A．10米 B．12米 C．14米 D．16米 【答案】D 【分析】 根据勾股定理求解即可，，进而可得即这棵大树在折断前的高度． 【详解】 根据题意，米 米 故选D 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2021·河南通许·九年级期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A．x2-（x+3）2=82 B．x2-（x-3）2=82 C．（x+3）-x2=82 D．（x-3）2-x2=82 【答案】B 【分析】 设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可． 【详解】 解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺， 在中， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 6．（2021·云南昆明·八年级期末）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为多少尺?（ ）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺 【答案】C 【分析】 竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】 解：1丈=10尺 设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：， 解得：，