17.1.1 勾股定理的证明与应用-简单数学之2021-2022学年八年级下册考点专训（人教版）

17.1.1 勾股定理的证明与应用16.1二次根式及其性质 一、单选题 1．（2021·江苏泗阳·八年级期中）勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解． 【详解】 解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即 ， 整理得： ，可以证得勾股定理； ④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即 ， 整理得： ，可以证得勾股定理； ⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即 ， 整理得： ，可以证得勾股定理； 所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个． 故选：C 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键． 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ） A．68 B．20 C．32 D．47 【答案】A 【分析】 过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2. 【详解】 解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90°， 又∠DAB+∠ ABD=90°， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BCE （AAS） ∴BE=AD=3， 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 . 故答案是68. 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算. 3．（2020·浙江余姚·八年级期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内，若GH⊥BC，且△AGF的面积，则五边形DECFG的周长为 ( ) A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】D 【分析】 由证明，根据全等三角形的对应边相等得到，再由解得，继而设，，在中，利用勾股定理解得，再结合三角形面积公式可解得，得到，，最后利用等量代换解得五边形的周长即可． 【详解】 解： 是等边三角形 △FGH是等边三角形， △ABC是等边三角形 在与中， 设， 在中， 即 △BDE和△FGH是两个全等的等边三角形， 五边形的周长为： 故选：D． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．（2020·浙江·宁波市鄞州蓝青学校八年级期中）如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（ ）． A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】 设，，在和 中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解． 【详解】 设，， 在中，，① 在中，，② ①＋②，， ∴， 在Rt△ABC中， ， 故选A． 【点睛】 本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键． 5．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学九年级开学考试）如图，在四边形ABCD中，ADBC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，则DE的长为( ) A．2 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】 根据直角三角形斜边上中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质，得到，由三角形外角的性质，可得，再根据平行线的性质和等量关系可得，根据等腰三角形的性质得到ＣＤ＝ＤＧ，最后由勾股定理解题即可． 【详解】 为AF的中点，即DG为