第05讲 平面向量基本定理-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第05讲 平面向量的基本定理 课程标准 课标解读 1． 了解平面向量的基本定理及意义. 2． 能正确地运用平面向量的基本定理表示平面内的任意向量． 3． 了解向量的基底与向量的关系，并能准确选择向量的基底表示向量. 通过本节课的学习，要求理解与掌握平面向量的基本定理，会用同一平面内两个不共线的向量作为基底表示平面内的向量，并且选择更加有利于解决问题的基底表示向量. 知识点 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． （1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一； （3）如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到 ． 2．两个向量的夹角 （1）向量夹角的几何表示 依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．已知两向量a，b，作 =a， =b，则∠AOB为a与b的夹角． （2）夹角范围 ①向量的夹角是针对非零向量定义的； ②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和 ； ③当两向量方向相同时，夹角为0，当方向相反时，夹角为π． 【即学即练1】若 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【分析】 不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 【详解】 不共线的向量能作为基底， 因为 ，所以向量 ， 共线，故排除A； 假设 ，解得 ，无解， 所以向量 ， 不共线，故B正确； 因为 ，所以 ， 共线，故排除C； 因为 ，所以 ， 共线，故排除D， 故选：B 【即学即练2】若 ， 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）． A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】B 【分析】 根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】 因为向量 ， 是平面内的一组基底，可得向量 ， 为平面内不共线向量， 对于A中，设 ，可得 ，此时方程组无解， 所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设 ，可得 ，解得 ， 所以向量 和 为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设 ，可得 ，此时方程组无解， 所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设 ，可得 ，此时方程组无解， 所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底. 共线：B. 【即学即练3】已知矩形ABCD中,对角线交于点O,若 ,则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由向量共线的性质以及向量的运算法则可得 ，进而可得结果. 【详解】 根据题意画出图如下， 因为 是矩形， 所以 ， 所以 故选A. 【点睛】 本题主要考查向量的几何运算，属于基础题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 【即学即练4】在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则 ＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 【答案】A 【解析】 过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m ＋n ＝ ＝ ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ ，所以 ＝-3 答案：A 【即学即练5】在正方形 中,点 是 的中点,点 是 上靠近 的三等分点. 若 ,则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 在正方形 中,点 是 的中点,点 是 上靠近 的三等分点，故 ， ,故选C. 【即学即练6】如图所示，四边形 为梯形，其中 ， ， ， 分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案. 【详解】 ， 正确； ， 正确； ， 错误； ， 正确. 故选： . 【点睛】 本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 【即学即练7】如果 是平面 内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是（ ） A． 可以表示平面 内的所有向量 B．对于平面 内任一向量 ,使 的实数对 有无穷多个 C．若