第04讲 平面向量的数量积-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第04讲 平面向量的数量积 课程标准 课标解读 理解平面向量的数量积、模、夹角、投影的意义，会利用向量的数量积进行求向量的相关量的运算，正确理解向量的夹角、向量的共线与向量数量积的关系.能利用向量运算的相关定律进行平面向量的运算. 通过本节课的学习，要求会利用平面向量的数量积公式及相关的运算律进行向量的相关量的求解与运算.掌握两向量的垂直、共线时平面向量数量积的特点，理解与掌握投影的意义，并能准确判断向量的数量积与两向量的夹角的大小关系. 知识点 1．平面向量数量积的物理背景 物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即： 如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功 ，其中θ为力 与位移 之间的夹角．而力与位移都是矢量，这说明两个矢量也可以进行运算． 2．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(inner product)(或内积)，记作 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，其中 是 与 的夹角． 我们规定，零向量与任一向量的数量积为0． （2）投影的概念 设非零向量 与 的夹角是 ，则 ( )叫做向量 在 方向上( 在 方向上)的投影 (projection)． 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 与 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 在 方向上的投影的情形，其中 EMBED Equation.DSMT4 ，它的意义是，向量 在向量 方向上的投影长是向量 的长度． （3）数量积的几何意义 由向量投影的定义，我们可以得到 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上的投 影 的乘积． 3．平面向量数量积的性质与运算律 （1）平面向量数量积的性质 由向量数量积的定义，设 都是非零向量，则有： 1 EMBED Equation.DSMT4 ； 2 或 ； 3 当 与 同向时， ；当 与 反向时， EMBED Equation.DSMT4 ； ④ ，其中 是非零向量 与 的夹角； ⑤ ，当且仅当向量 共线，即 时等号成立． （2）平面向量数量积的运算律 由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律： 已知向量 和实数 ，则 2 交换律： ； ②数乘结合律： EMBED Equation.DSMT4 ； ③分配律： ．( （3）两个结论 ① ； ② EMBED Equation.DSMT4 ． 【微点拨】1.两向量的夹角要共起点且夹角的范围为 ；2.当两非零向量垂直时，向量的投影是点. 【即学即练1】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>= .若n⊥（tm+n）， 则实数t的值为（ ） A.4 B.–4 C. D.– 【答案】B 【解析】由 ，可设 ，又 ，所以 . 所以 ，故选B. 【即学即练2】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使得 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设 ， ，∴ ， ， ，∴ ，故选B. 【即学即练3】已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为（ ） A．–1 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】设向量 与a的夹角为θ，则：cosθ= ，∴ 在向量a上的投影为： ．故选B． 【即学即练4】已知向量a，b的夹角为60°，且 ，则 与 的夹角等于（ ） A．150° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【解析】由题意可得 =2×1cos60°=1，设向量 与 的夹角等于θ，∵（ ）2= –2 + =4–2×1+1=3，（ ）2= +4 +4 =4+4×1+4=12，∴| |= ，| |= =2 ，而（ ）（ ）= + –2 =4+1–2=3，由此可得cosθ= ．再由0°≤θ≤180°，可得θ=60°，故选C． 【即学即练5】在等腰梯形ABCD中,已知 , 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则 的值为 ． 【答案】 【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算， 在等腰梯形ABCD中,由 ∥ , 得 , , , 所以 = 【即学即练6】已知不共线的向量 ， ， ， . （1）求 与 的夹角的余弦值； （2）求 . 【解析】（1）设 的夹角为 ，∵ ，∴ ， 又 ，可得 ，∴ . （2） EMBED Equation.DSMT4 . 【名师点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角、模的计算，考查基本运算求解能力.求解时，（1）先