第10讲 幂函数-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)

第10讲 幂函数 第一关 知识梳理 知识点1 幂函数的概念 一般地，函数是常数）叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 知识点2 幂函数的图象与性质 1、几个常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 过定点 过定点 过定点 2、一般幂函数的图象特征 ①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． ②当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象上抛；当0<α<1时，幂函数的图象右抛． ③当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． ④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． ⑤在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 第二关 解题策略 本节思维导图 第三关 典例精析 考点一 幂函数的判断及应用 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等函数都不是幂函数。 1、在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为______ 【解析】∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数. 故答案为：1． 2、给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.故选；B. 3、已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是： （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数． 【解析】（1）若函数f(x)为正比例函数，则 ∴m＝1. （2）若函数f(x)为反比例函数，则 ∴m＝－1. （3）若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±. 4、已知函数是幂函数，求的值． 【解析】因为是幂函数， 所以，解得， 所以． 5、已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【解析】设，依题意，所以.故选：D 6、已知幂函数的图象经过点，则（ ） A．2 B． C． D． 【解析】因为幂函数的图象经过点，设，， 所以幂函数的解析式为：，则. 故选：A. 7、已知幂函数的图象经过点(2，4)，则f(-2)＝（　　） A．-9 B．9 C．4 D．-4 【解析】依题意，设幂函数，于是得，解得，则有， 所以.故选：C 8、已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A.　　　　B．1　　　　C.　　　　 D．2 【解析】　∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－， ∴k＋α＝.故选A 9、已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数的值为（ ） A．或 B． C．或 D． 【解析】由幂函数，故有， 解得，或，当时，不合题意. 故选：D． 考点二 幂函数的定义域和值域 10、下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【解析】A，则需要满足，即，所以函数的定义域为，故A不符合题意； B，则需要满足，所以函数的定义域为，故B不符合题意； C，则需要满足，所以函数的定义域为，故C不符合题意； D，故函数的定义域为，故D正确； 故选：D. 11、下列函数中定义域为的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A：函数，定义域为，不满足条件； 对于B：函数的定义域为，不满足条件； 对于C：，定义域为，不满足条件； 对于D：函数的定义域为R，满足条件； 故选：D 12、若有意义，则实数的取值范围是（ ）