第05讲 可化为一元一次方程的分式方程-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第5讲可化为一元一次方程的分式方程 目标导航 1. 了解分式方程的定义，根及增根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 知识精讲 知识点01分式方程 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫分式方程. （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【即学即练1】 1、下列方程中，不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； B、该方程属于无理方程，故本选项正确； C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； 故选：B． 【总结】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 知识点02分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【即学即练2】 （1）解方程：． （2）解方程 【答案】 （1）解：方程的左右两边分别通分， 得， ∴ ， ∴ ， ∴ ，或， 由，解得， 由，解得． 经检验：，是原方程的根. （2）解：移项得， 两边同时通分得， 即， 因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等． 所以， ， ， ， ∴ ． 检验：当时，． ∴ 是原方程的根． 【总结】若用常规方法，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解． 知识点03分式方程的根、增根及检验 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为O，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根． （1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根 【即学即练3】 （1）若分式方程有增根，求值； （2）若分式方程有增根，求的值． 【答案】 解：（1）方程两边同乘，得． ∴ ． ∴ ． 由题意知增根为或， ∴ 或． ∴ 或． （2）方程两边同乘，得． ∴ ． ∴ ． ∵ 增根为， ∴ ． ∴ ． 【总结】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值 知识点04分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练4】 1、甲工人工作效率是乙