第02讲 分式的基本性质-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第2讲分式的基本性质 目标导航 1． 掌握分式的基本性质 2． 能利用分式的基本性质将分式恒等变形 3． 利分等式性质计算. 知识精讲 知识点01分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 定义诠释： （1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 【即学即练1】 1、在括号里填上适当的整式： （1） = （2） = （3） = ． 【解析】 解：（1）分子分母都乘以5a，得=， （2）分子分母都除以x，得=， （3）分子分母都乘以2a，得=， 【总结】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握并理解分式的基本性质是解决此类问题的关键. 2、如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍 【答案】B； 3、下列分式变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D； 提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件．其中A项分子、分母乘的不是同一整式，B项中这一条件不知是否成立，故A、B两项均是错的．C项左边可化为：，故C项亦错，只有D项的变形是正确的． 4、填写下列等式中未知的分子或分母． （1）； （2）． 【答案】；1； 解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为，而等式的右边分式的分子为，由于，即将等式左边分式的分子乘以，因而分母也要乘以，所以在？处应填上． （2）先观察分母，等式左边的分母为，等式右边的分母为，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以，因为，所以在？处填上1． 知识点02分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 定义诠释： 根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 【即学即练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． （1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】 解：（1） （2） （3） （4）． 【总结】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面． 知识点03分式的约分、最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 定义诠释： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 【即学即练3】下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有　 　个． 【答案】2. 【解析】 解：①是最简分式； ②，不是最简分 式； ③，不是最简分式； ④是最简分式； 最简分式有①④，共2个； 故答案为：2． 【总结】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 知识点04分式条件求值 【即学即练4】若，求的值． 【答案】 解法一：因为，可知， 所以 ． 解法二：因为， 所以，且， 所以． 【分析】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的． 能力拓展 考法01 1、把分式中的都扩大倍（≠0），则分式的值（ ） A．扩大倍 B．缩小倍 C．不变 D．不能确定 【答案】C； 【解析】. 2、如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（ ） A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．是原来的 D．不变 【答案】D； 【解析】. 3、下列各式中，正确的是（ ）