第3讲　立体几何中的向量方法（练·教师版）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）

第3讲　立体几何中的向量方法（练·教师版） 一、单项选择题 1．（2020·辽宁高二期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接BD，如图，因为E是PD的中点，所以 .故选B. 2．若平面的法向量分别为，则（ ） A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确 【答案】C 【解析】显然不平行，而， 故不垂直， 所以法向量既不平行也不垂直， 所以相交但不垂直.故选C. 3．在棱长为2的正方体中，点平面，点F是线段的中点，若，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，，，，，，， ，，得， 平面，， ， 当时，函数取得最小值.故选C. 4．（2021·江苏高三开学考试）与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【解析】以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，， 设为上一点， 作平面，垂足为，过作，垂足为， 所以为点到棱的距离. 又因为，，则， 同理到棱的距离也是， 所以上任意一点到棱的距离都相等， 所以与三条棱所在直线的距离相等的点共有无数个.故选D. 5．（2021·广东深圳市高三月考）如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)， ＝(1，－，－1)，＝，＝(1，0，－1). 设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则z＝1，y＝，故n＝(1，，1)为平面GEF的一个法向量， 所以cos〈n，〉＝＝－， 所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为. 6．（2021·江西九江市高三三模（文））如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【解析】如下图所示： 设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、、，设点，其中. 对于①，不是定值，①错误； 对于②， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面， ，则点到平面的距离为定值，而的面积也为定值， 所以，三棱锥的体积为定值，②正确； 对于③，，，所以，， 因此，对任意点，都有，③正确； 对于④，，，， ，这样的不存在， 所以不存在点，使得平面，④错误．故选C． 二、多项选择题 7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC 【解析】对于A，由，，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数，使得，即， 所以，无解，所以不共线，所以不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以不平行，故D错误.故选AC. 8．（2021·重庆市黔江新华中学校高三月考）在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．平面的一个法向量为 D．二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】在长方体中，，，， 以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 对于A，∵，，∴，故A正确； 对于B，，，，， 设异面直线与所成角为， 则异面直线与所成角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得平面的一个法向量为，故C正确； 对于D，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， ∴二面角的余弦值为： ，故D正确.故选ACD． 9．（2021·湖南高三三模）如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ） A．平面平面 B．三棱锥四个面都是直角三角形 C．与所成角的余弦值为 D．过的平面与交于，则面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】中，，，， 由余弦定理可得，故， 所以，