2.2 基本不等式（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）浙江专用

第2课时　基本不等式的应用 选题明细表 知识点 题号 思想方法与核心素养 不等式求最值问题 1,2,3,4,6,8, 12,15,16 整体代换思想,数学运算素养,逻辑推理素养 不等式的实际应用 13,14,17 函数与方程思想,数学抽象素养,数学建模素养,逻辑推理素养 不等式的恒成立问题 5,7,9,10,11 整体代换思想,数学运算素养,逻辑推理素养 基础巩固 1.设0<x<,则x(1-2x)的最大值为(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:由题得x(1-2x)=·2x(1-2x)≤()2=. 当且仅当2x=1-2x即x=时取到等号. 所以x(1-2x)的最大值为. 故选C. 2.若两个正实数x,y满足+=1,则x+2y的最小值为(　A　) (A)8 (B)6 (C)4 (D)2 解析:因为两个正实数x,y满足+=1, 所以x+2y=(x+2y)·(+)=4++≥4+2=8, 当且仅当=时取等号即x=4,y=2,故x+2y的最小值是8.故选A. 3.若正数a,b满足2a+=1,则+b的最小值为(　D　) (A)4 (B)8 (C)8 (D)9 解析:因为a>0,b>0,且2a+=1, 所以+b=(+b)(2a+)=5++2ab≥5+4=9, 当且仅当=2ab即a=,b=3时取等号.故选D. 4.设a>0,b>0,a+b=5,则+的最大值为(　B　) (A) (B)3 (C)2+ (D)+ 解析:由重要不等式2ab≤a2+b2,两边同时加上a2+b2得(a+b)2≤2(a2+b2),两边同时开方即得a+b≤(a>0,b>0,当且仅当a=b时取“=”), 从而有+≤==3(当且仅当a+1=b+3,即a=,b=时,取等号). 故选B. 5.已知不等式(x+my)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数m的最小值是(　B　) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解析:不等式(x+my)(+)≥9对任意的正实数x,y恒成立, 则++1+m≥9对任意的正实数x,y恒成立, 又+≥2,所以2+1+m≥9, 解得≥2或≤-4(不合题意,舍去), 所以m≥4,即正实数m的最小值是4.故选B. 6.若a>0,b>0,ab=a+b+1,则a+2b的最小值为(　D　) (A)3+3 (B)3-3 (C)3+ (D)7 解析:当b=1时,代入等式a=a+1+1不成立,因而b≠1, 所以ab-a=b+1,a==1+,由a>0,b>0,得b>1,b-1>0, 所以a+2b=1++2b =3++2(b-1) ≥3+2 =3+2×2 =7.(当且仅当a=3,b=2时取等号) 即最小值为7,所以选D. 7.(多选题)(2021·宁波期末)若“∃x0∈(0,2),使得2-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ可能的值是(　AB　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)3 解析:由题意可知,命题“∀x∈(0,2),2x2-λx+1≥0成立”, 所以,λx≤2x2+1,可得λ≤2x+, 当x∈(0,2)时,由基本不等式可得2x+≥2=2, 当且仅当x=时,等号成立,所以,λ≤2. 故选AB. 8.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式①ab≤1;②+≤; ③a2+b2≥2;④+≥2,对满足条件的a,b恒成立的是　　(填写序号). 解析:因为ab≤()2=1,所以①正确; 因为(+)2=a+b+2=2+2≤2+a+b=4,故②不正确; a2+b2≥=2,所以③正确;+==≥2,所以④正确. 答案:①③④ 9.设a,b,c均为正实数,若(a+b+c)(+)≥k恒成立,则k的最大值是　　　　　.此时a,b,c的关系是　　　　.  解析:因为a,b,c均为正实数,所以b+c>0, 所以(a+b+c)(+)=2++ ≥2+2 =4, 当且仅当=,即a=b+c时取“=”,要使(a+b+c)(+)≥k恒成立,只需k≤4即可,故k的最大值为4. 答案:4　a=b+c 10.若对任意x>1,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为x>1,所以x-1>0.由题意得==(x-1)+ -2≥2-2=2,当且仅当x-1=,即x=3时等号成立. 所以a≤2. 答案:{a|a≤2} 11.若关于x的不等式2x+≥7(x>a)恒成立,则实数a的最小值是　　　　. 解析:因为关于x的不等式2x+≥7在x∈{x|x>a}上恒成立, 所以(2x+)min≥7, 因为x>a,所以2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=4+2a, 当且仅当2(x-a)=,即x=a+1时取等号, 所以(2x+)min=4+2a, 所以4+2a≥7,解得a≥, 所以实数a的最小值为. 答案: 12.已知x>0,y>0,且x+4y-2xy=0,