2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）浙江专用

第2课时　一元二次不等式及其应用 数学 课标解读 1.会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式. 2.能够求解与一元二次不等式相关的不等式恒成立问题. 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型,并加以解决. 数学 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 C 课前自测 新知导学·素养启迪 解析:原不等式等价于(x-1)(x+2)<0, 解得-2<x<1.故选C. 数学 A 数学 3.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立,则一定有(　 ) (A)a>0,且b2-4ac>0 (B)a>0,且b2-4ac<0 (C)a<0,且b2-4ac>0 (D)a<0,且b2-4ac<0 B 数学 解析:由题意可知,命题:∀x∈R,x2-ax+1≥0为假命题,则Δ=a2-4>0, 求解一元二次不等式可得实数a的取值范围是a<-2或a>2.故选D. 4.存在实数x,使得不等式x2-ax+1<0成立, 则实数a的取值范围是(　 　) (A){a|-2≤a≤2} (B){a|a≤-2或a≥2} (C){a|-2<a<2} (D){a|a<-2或a>2} D 数学 课堂探究·素养培育 题型一　可化为一元二次不等式(组)的分式不等式 数学 数学 方法技巧 (1)分子、分母均是含同一个未知数且为一次分式不等式,通常根据两个因式的商与它们的积的符号相同的关系转化为一元二次不等式(组)求解,但在转化时需注意分母不为0这个条件; (2)当分式不等式有一侧不为0时,需先移项将一侧化为0,再化为一元二次不等式来解. 数学 数学 题型二　与一元二次不等式有关的恒成立问题 [例2] 设函数y=mx2-mx-1.若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围. 数学 方法技巧 数学 即时训练2-1:若关于x的不等式ax2+(2a-1)x+a-2≤0对任意x∈R恒成立,求a的取值范围. 解:①若a=0,不等式化为-x-2≤0,不能对x∈R恒成立; 数学 题型三　一元二次不等式的实际应用 [例3] 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆摩托车投入成本增加的比例为x(0<x<1), 则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. 数学 (1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x之间的关系式; 解:(1)每辆摩托车投入成本增加的比例为x, 则每辆摩托车投入成本为1×(1+x)万元,出厂价为1.2×(1+0.75x)万元, 年销售量为1 000×(1+0.6x)辆. 所以y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x) =-60x2+20x+200(0<x<1). 数学 (2)为保证本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内? 数学 方法技巧 用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系; (2)建模:建立一元二次不等式模型; (3)求解:解一元二次不等式; (4)还原:把数学结论还原为实际问题. 数学 即时训练3-1:某单位在对一个长800 m,宽600 m的地块进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛.如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围. 数学 数学 点击进入 课时作业·素养提升 点击进入 检测试题 数学 1.不等式<0的解集为(　 　) (A){x|x>1} (B){x|x<-2} (C){x|-2<x<1} (D){x|x>1或x<-2} 解析:因为x2+x+1=(x+)2+>0, 所以原不等式可化为x2-2x-2<2(x2+x+1),化简得x2+4x+4>0,即(x+2)2>0, 所以原不等式的解集为{x|x≠-2}. 故选A. 2.不等式<2的解集为(　 　) (A){x|x≠-2} (B)R (C) (D){x|x<-2或x>2} 解析:由关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立,得 即故选B. 解:(1)此不等式等价于 解得-1<x≤2. 所以原不等式的解集为{x|-1<x≤2}. [例1] 解下列不等式:(1)不等式≤0; (2)不等式≥1. 解:(2)不等式≥1,移项得-1≥0,即≤0, 可化为解得≤x<2. 故原不等式的解集为{x|≤x<2}. 即时训练1-1:解不等式:≥-1. 解:不等式≥-1,移项得≥0, 可化为 解得x≤或x>3, 即原不等式的解集为{x|x≤或x>3}. 解:要使