2.2 基本不等式（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）浙江专用

第2课时　基本不等式的应用 数学 课标解读 1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过配凑、变形等方法构造基本不等式求最值. 2.结合具体实例,利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 3.能够利用基本不等式解决一些不等式的恒成立问题.提升学生逻辑推理的数学素养. 数学 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 A 课前自测 新知导学·素养启迪 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 数学 2.已知0<x<1,则x(1-x)取最大值时x的值为(　 　) C 数学 3.某工厂过去的年产量为a,改革后,第一年的年产量增长率为p,第二年的年产量增长率为q,这两年的年产量平均增长率为x,则(　 　) D 数学 答案:4 数学 课堂探究·素养培育 题型一　利用基本不等式求代数式的最值 [例1] 已知a,b∈R,a2+b2-ab=2,则a+b的最大值为　 　,ab的取值范围是 　. 数学 方法技巧 (1)配凑法即通过对式子进行变形,配凑出满足基本不等式的条件. (2)通过消元,化二元问题为一元问题,要注意被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响. 数学 数学 题型二　基本不等式的实际应用 [例2] 某市近郊有一块500米×500米的正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为3 000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米. 数学 (1)分别用x表示y和S的函数关系式,并求出相应的x的取值范围; 数学 (2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值. 数学 方法技巧 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法 (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数. (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题. (3)在自变量的取值范围内,利用基本不等式求出函数的最大值或最小值. (4)回到实际问题中,结合实际意义写出正确的答案. 数学 即时训练2-1:用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架 (不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的高为　　 　　 m,宽为　　　　 m.  数学 题型三　利用基本不等式求解恒成立问题 数学 数学 (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 数学 点击进入 课时作业·素养提升 点击进入 周练卷 数学 1.“a=1”是“对任意的正实数x,x+≥a恒成立”的(　 　) 解析:因为x+≥2=2,所以a=1⇒x+≥a恒成立,充分性成立,而x+≥a恒成立不能推出a=1,也就是说必要性不成立,所以“a=1”是“对任意的正实数x, x+≥a恒成立”的充分不必要条件,故选A. 解析:x(1-x)≤()2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立. 故选C. (A) (B) (C) (D) 解析:由题意,可得a(1+p)(1+q)=a(1+x)2, 即(1+p)(1+q)=(1+x)2, 又由(1+p)(1+q)≤()2, 所以1+x≤=1+, 所以x≤. 故选D. (A)x= (B)x= (C)x≥ (D)x≤ 解析:因为正数a,b满足a+b=1, 所以+=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时取等号. 所以+的最小值为4. 4.已知正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为　　　　.  解析:由a2+b2-ab=2得,(a+b)2=2+3ab, 由基本不等式,得(a+b)2≤2+(a+b)2,即(a+b)2≤8, 所以-2≤a+b≤2,当且仅当a=b时取等号. 又2+3ab=(a+b)2≥0及2+3ab=(a+b)2≤8,得-≤ab≤2, 所以ab的取值范围是[ab|-≤ab≤2]. 答案:2　[ab|-≤ab≤2] (3)常见的变形技巧有①配凑系数;②变符号;③拆补项.常见形式有y=ax+型和y=ax(b-ax)型. 即时训练1-1:已知2x+3y=3,若x,y均为正数,则+的最小值是(　　) (A) (B) (C)8 (D)24 解析:因为2x+3y=3,x,y均为正数, 则+=(+)(2x+3y)=(12++)≥=8, 当且仅当=且2x+3y=3即x=,y=时取等号, 所以+的最小值是8.故选C. 解:(1)由已知xy=3 000, 所以y=(6<x<500). S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a, 又因为y=2a+6, 所以a===-3, S=(2x-10)(-3)=3 030-(+6x)(6<x<500). 解:(2