第03讲 平面向量的数乘运算-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第03讲 平面向量的数乘运算 课程标准 课标解读 1．掌握向量数乘的定义． 2．了解向量数乘的运算律． 3．理解向量数乘的几何意义． 4.掌握向量的共线定理. 通过本节课的学习要求熟练地进行实数与向量的积的运算，利用向量数乘的几何意义判断两向量共线，能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用． 知识点 1．向量的数乘 一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ．它的长度和方向规定如下： （1） ； （2） 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 与 的方向相反； 时， ． 【微点拨】 （1）对于 ：①从代数角度看， 是实数， 是向量，它们的积仍然是向量． 的条件是 或 ．②从几何的角度看，对于长度来说，当 时，意味着表示向量 的有向线段在原方向 或相反方向 上伸长了 倍；当 时，意味着表示向量 的有向线段在原方向 或反方向 上缩短了 倍． （2）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如 ， 都无意义． 2．向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设 、 是实数， 、 是向量，则： 1 结合律： EMBED Equation.DSMT4 ； 2 第一分配律： EMBED Equation.DSMT4 ； ③第二分配律： EMBED Equation.DSMT4 ． 3．向量共线定理 （1）内容： 向量 与非零向量 共线，则有且只有一个实数 ，使 ． （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意 ． 特别地，若 ，实数 仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数 沟通了两个向量 与 的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数 使向量相等即可． 【即学即练1】化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 本题正确选项为B. 【名师点睛】本题考查向量数乘运算的运算法则的应用，根据向量数乘运算法则直接化简即可得到结果.属于基础题. 【即学即练2】已知AD、BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线，且 ， ，则 =（ ） A． + B． + C． + D． + 【答案】C 【解析】∵ ， ， ， ．∴ ，解得 ．故选C． 【即学即练3】设 是非零向量， 是非零实数，则下列结论中正确的是（ ） A． 与 的方向相同 B． 与 的方向相反 C． 与 的方向相同 D． 【答案】C 【解析】只有当 时，才有 与 的方向相同， 与 的方向相反，且 .因为 ，所以 与 的方向相同.故选C. 【名师点睛】本题主要考查向量的数乘，熟记概念即可，属于基础题型.根据向量的数乘运算，可直接得出结果. 【即学即练4】已知平行四边形 的对角线 与 交于点 ，设 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， ， . 本题正确选项为B. 【名师点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基础题.根据向量减法的三角形法则和数乘运算直接可得结果. 【即学即练5】在梯形ABCD中， =3 ，则 等于（ ） A．– + B．– + C．– + D．– 【答案】A 【解析】∵在梯形ABCD中， =3 ，∴ + ，故选A． 【即学即练6】已知M为△ABC的边AB的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足 ，若 ，则λ的值为（ ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【解析】由题意满足 ，可得四边形PACB是平行四边形，又M为△ABC的边AB的中点，∴PC=2PM， ，∴λ=2．故选A． 【即学即练7】已知实数 和向量 有下列说法： ① ；② ； ③若 ，则 ；④若 ，则 . 其中，正确的说法是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】①和②属于向量数乘运算的分配律，正确； ③中，当 时， ，但 与 不一定相等，故③不正确； ④正确，因为由 ，得 ，又因为 ，所以 ，即 . 故选B. 【名师点睛】本题主要考查向量的数乘，熟记向量数乘运算的法则即可，属于常考题型.求解时，根据向量数乘运算判断①②；根据特殊值 ，判断③；根据向量数乘运算，可判断④. 【即学即练8】设 是两个不共线的向量，若向量 （ ）与向量 共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量 （ ）与向量 共线，所以存在实数 ，使得 ， 所以有 ，因此 ，解得 .故选D． 【名师点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的共线定理即可，属于常考题型.求解时，根据向量的共线定理，结合题意得到，存在实数 ，使得 ，根据题中数据