第01讲 平面向量的概念-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的概念 课程标准 课标解读 1．掌握向量的模，零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念． 2．会区分平行向量、相等向量和共线向量． 通过本节课的学习，要求掌握向量的概念及相关概念，掌握向量的线性关系，掌握向量的几何表示. 知识点 1．向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量． 只有大小没有方向的量称为数量，如长度、质量、面积、体积等；而向量是不仅有大小而且有方向的量，如位移、速度、加速度、力等． 数量可进行代数运算，向量不能比较大小． 大小是向量的代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征． 温馨提示： （1）向量的模：向量 的大小，也就是向量 的长度．记作 ． （2）零向量：长度为0的向量．记作 ． 的方向是任意的． （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 2．向量的表示法 （1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体 与印刷体 的不同． 3．相等向量和共线向量 （1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量 、 相等，则记作 ． （2）共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量 、 平行，记作 ．规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量 ，都有 ． 【即学即练1】下列说法正确的是（ ） A．向量 与向量 的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量没有方向 D．向量的模是一个正实数 【答案】A 【分析】 根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误. 【详解】 A： 与 的长度相等，方向相反，正确； B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误； C：零向量的方向任意，故错误； D：向量的模是一个非负实数，故错误. 故选：A 【即学即练2】下列说法错误的是（ ） A．向量 与向量 长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】 A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断. 【详解】 A. 和 长度相等，方向相反，故正确； B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误； C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确； D.向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确. 故选：B. 【即学即练3】．如图所示，四边形 为正方形， 为等腰直角三角形. （1）图中与 共线的向量有____________________； （2）图中与 相等的向量有_______________； （3）图中与 相等的向量有__________. 【答案】 【分析】 根据共线向量与向量的模长相等的定义，写出符合条件的向量即可． 【详解】 解：根据题意得，（1）图中与 共线的向量为 ； （2）图中与 相等的向量为 ． （3）图中与 相等的向量有 【点睛】 本题考查了共线向量与相等向量的应用问题，理解概念是解题的关键，是基础题目． 【即学即练4】如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________． 【答案】 【分析】 找出依次与阴影部分各边表示的向量相等的向量即可. 【详解】 若按 的方向行走，由于相等向量的长度和方向相同，则与此 个向量相等的向量依次为 . 若按 的方向行走，与图中提供的向量方向不同，不合题意. 所以正确的排列顺序为 . 【点睛】 本题考查相等向量的判断. 【即学即练5】如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与 平行且模为 的向量共有_____个. 【答案】24 【分析】 每个小正方中有两个符合条件，找到正方形个数即可. 【详解】 由题意知， 的格点图中包含12个小正方形，每个小正方形的对角线长为 与 平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足. 故答案为：24. 【即学即练6】在如图所示的向量 ， ， ， ， 中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量． （1）共线向量？ （2）相反向量？ （3）相同的向量？ （4）模相等的向量？ 【答案】 （1） 与 共线， 与 共线 （2） 与 （3）无相同向量 （4） 【分析】 （1）利用共线向量的定义判断， （2）利用相反向量的定义判断， （3）利用相同向量的定义判断， （4）求出各个向量的模进行判断 （1） 与 共线， 与 共线 （2） 与 是相反向量 （3）图中无方向相同的向量，所以向量