第05讲 有关数轴上动点问题-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（北师大版）

第05讲 有关数轴上动点问题 【学习目标】 1． 数轴上动点问题一般都是行程相遇或追击问题，一定要会用方程的思想，找到等量关系去求解。 2．一定要会分类讨论问题，数轴上动点问题，分左右两侧，经常会出现2种情况。 【基础知识】 一、常用公式 （1）路程=速度×时间 （2） ①相遇问题（或相向问题）：相遇路程=速度和×相遇时间 甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：追及路程=速度差×追及时间 第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程 （3）求数轴上两点之间的距离方法是右边点所表示的数减去左边点所表示的数。 二、分类讨论 （1）两点的距离，一定要考虑左右两侧。 （2）一个动点或2个动点问题，点在移动时，会在线段的内侧或者外侧2种情况。 【考点剖析】 考点一：数轴上一个动点移动 例1．如图，数轴上两点A 、B 所表示的数分别为-3，1。(1)写出线段AB的中点M所对应的数； (2) 若点P从B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动,运动时间为 秒: ①用含 的代数式表示点P所对应的数； ②当BP=2AP时,求 值． 【答案】（1）-1；（2）①1-2x；②x= 或x=4． .【解析】（1）根据中点的公式计算可得； （2）①根据两点间的距离公式求解可得；②分P运动到A、B之间和运动到BA的延长线上两种情况，根据“BP=2AP”列出方程，解之可得． 【详解】 解：（1）线段AB的中点M所对应的数为 =-1； （2）①点P对应的数为1-2x； ②若P运动到A、B之间，则1-（1-2x）=2[1-2x-（-3）]，解得x= ； 若P运动到BA的延长线上时，则1-（1-2x）=2[-3-（1-2x）]，解得x=4． 综上，当BP=2AP时，x= 或x=4． 【点拨】本题考查数轴，掌握数轴上两点的距离公式：若点A表示a，点B表示b时，AB=|xb-xa|． 考点二：数轴上2个动点同时移动 例2如图，已知数轴上点A表示的数为6，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）数轴上点B表示的数为　　　　，当t＝2时，点P表示的数为　　　　； （2）动点R从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问经过多长时间P，R两点相遇？ （3）动点R从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多长时间P，R两点相距2个单位长度？ 【答案】（1） ，2；（2）2秒；（3） 或 秒． 【解析】 （1）根据点A表示的数为6，且AB＝10，点B在点A的左则，列出算式求解即可；根据点P从点A出发，每秒2个单位长度向左匀速运动，列出算式求解即可； （2）设经过 秒后P，R两点相遇，根据题意列出方程求解即可； （3）根据两种情况：当P，R两点还没有相遇，相距2个单位长度；当P，R两点相遇后再相离，相距2个单位长度，据此根据题意列出方程求解即可． 【详解】 解：（1） 点表示的数为 ； 当 时，点P表示的数为： ； 故答案是： ，2； （2）设经过 秒后P，R两点相遇， 依题意得： ， 解之得： ； ∴经过2秒后P，R两点相遇； （3）设P，R两点运动的时间是 当P，R两点还没有相遇，相距2个单位长度， 依题意得： ， 解之得： ； 当P，R两点相遇后再相离，相距2个单位长度， 依题意得： ， 解之得： ； 综上所述， 或 秒后，P，R两点相距2个单位长度 【点睛】 本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，要注意分类讨论． 【真题演练】 1．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度； （3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 2．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是﹣4，﹣2，3． （1）若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动　 　个单位； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时