第03讲 方程思想在几何的应用-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（北师大版）

第03讲 方程思想在几何的应用 【学习目标】 1． 掌握利用方程思想去求线段的长度，通常有关线段的比经常用方程。 2．掌握利用方程思想去求角的度数或旋转时间，通常当题中有关角度的比求角的度数，或者有关角（三角板）的旋转求时间，可根据题中等量关系式，列方程求解。 【基础知识】 1. 线段中点 ∵C是AB的中点 ∴AC=BC= AB 2. 角平分线 ∵OM平分∠AOB ∴∠AOM=∠BOM= ∠AOB 3.平角等于180°，直角等于90°。 4.有关线段比，求线段长度 设未知数，利用方程思想，求出一份量。 5.有关角的比或几分之几，求角的度数 设未知数，利用方程思想，求出一份角的度数。 6.有关角（三角板）的旋转，求旋转时间 设未知数，利用方程思想，找出关系式，求出旋转时间。 【考点剖析】 考点一：有关线段比，求线段长度 例1．如图，点 A，M，B，C，N，D 在一条直线上，若 AB：BC：CD=2：3：2， AB 的 中点 M 与 CD 的中点 N 的距离是 11cm，求 AD 的长． 【答案】15.4cm． 【解析】 【分析】根据线段中点的性质，可得MB，BC，根据线段的和差，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据线段的和差，可得答案． 【详解】 设AB＝2xcm，BC＝3xcm，CD＝2xcm． ∵M是AB的中点，∴MB＝xcm． ∵N是CD的中点，∴NC＝xcm． ∵MN＝11cm，∴x+3x+x＝11．解得：x＝2.2． AD＝2x+3x+2x＝7x＝15.4（cm）． 答：AD 的长为15.4cm． 考点二：有关角的比或几分之几，求角的度数 例2．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度 数． 【答案】120° 【详解】 设∠AOC＝x°，则∠BOC、∠AOB、∠AOD均可用x表示出来，由∠COD＝36°来列方程，求x． 解：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝4x°． ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝ ∠AOB＝ (x°＋4x°)＝2.5x°． 又∵∠COD＝∠AOD－∠AOC， ∴2.5x°－x°＝36°．x＝24． ∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝x°＋4x°＝120°． 考点三：角（三角板）的旋转，利用方程，求旋转时间 例3．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°） 的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方． （1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由． 【答案】（1）①5秒；②是；（2）15秒时OC平分∠MON；（3）OC平分∠MOB，t=23.3秒； 【分析】（1）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠AON=∠CON，即可得出OM平分∠BOC； （2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出答案； （3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可． 【详解】 （1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=2∠COM=150°， ∴∠COM=75°， ∴∠CON=15°， ∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°， 解得：t=15°÷3°=5秒； ②是，理由如下： ∵∠CON=15°，∠AON=15°， ∴ON平分∠AOC； （2）15秒时OC平分∠MON，理由如下： ∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM， ∵∠MON=90°， ∴∠CON=∠COM=45°， ∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转， 设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t， ∵∠AOC-∠AON=45°， 可得：6t-3t=15°， 解得：t=5秒； （3）OC平分∠MOB ∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM， ∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转， 设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t， ∴∠COM为 （90°-3t）， ∵∠BOM+∠AON=90°， 可得：180°-（30°+6t）= （90°-3t）， 解得：t=23.3秒； 如图：