6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册) 6.4.1-6.4.2　平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 【考点梳理】 考点一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 考点二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：用向量证明线段垂直问题 1．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）在△ABC中，若 ，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量 与 满足 ，且 ，则 为（ ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 题型二：用向量解决夹角问题 3．（2021·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）在 中， ， ，动点 位于直线 上，当 取得最小值时， 的正弦值为（ ） A． B． C． D． 4．（2019·四川·绵阳中学高一阶段练习）直角三角形 中， ， ， ，M为 的中点， ，且P为 与 的交点，则 （ ） A． B． C． D． 题型三：用向量解决线段的长度问题 5．（2021·江西·九江一中高一期中）在 中， ，点 满足 ，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．（2021·重庆南开中学高一期中）如图所示在四边形 中， 是边长为4的等边三角形， ， ， ，则 （ ） A． B． C．3 D． 题型四：向量与几何最值问题 7．（2021·江西·九江一中高一期中）在直角梯形 中， ， ， ， ， ，点 是线段 上的一点， 为直线 上的动点，若 ， ，且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．（2021·河北邢台·高一阶段练习）在平面四边形 中， ， ， ， ， ，若点 为边 上的动点，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型五：向量在物理中的应用 9．（2021·山东潍坊·高一期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为 ，两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 夹角为 ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ） A． B．当 时， C．当 角越大时，用力越省 D．当 时， 10．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 米，一艘船从河岸的 地出发，向河对岸航行．已知船的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ，船的速度与水流速度的合速度为 ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为 分钟 题型六：平面向量应用的综合问题 11．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证： （1）BE⊥CF; （2）AP=AB. 12．（2021·江苏·高一课时练习）如图，在 中， ， ，点 在 的延长线上，点 是边 上的一点，且存在非零实数 ，使 . （Ⅰ）求 与 的数量积； （Ⅱ）求 与 的数量积. 13．（2018·全国·高一单元测试）如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN= BM. (1)求证:M是CD的中点; (2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求 的最小值. 【双基达标】 一、单选题 14．（2021·全国·高一课前预习）在 中， ，则 的形状是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确