6.3.4-6.3.5 平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册) 6.3.4-6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 【考点梳理】 考点一　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 考点二　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 考点三：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝. ＝ 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝直接求出cos θ. ＝ (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：由坐标判断坐标是否共线问题 1．（2021·全国·高一课时练习）若 =(6，6)，=(5，7)， =(2，4)，则下列结论成立的是（ ） A． 与 共线 B． 与 共线 C． 与 共线 D． 与 共线 2．（2021·全国·高一课时练习）已知 ， ， ，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·江苏淮安·高一阶段练习）若向量 =(1，2)， =(2，3)，则与 + 共线的向量可以是（ ） A．(2，1) B．(6，10) C．(－1，2) D．(－6，10) 题型二：由向量平行（共线）求参数 4．（2021·全国·高一课时练习）设 ， 是两个不共线的向量，若向量 EMBED Equation.DSMT4 与向量 共线，则（ ） A． B． C． D． 5．（2021·全国·高一课时练习）设向量 ， ，如果向量 与 平行，那么 的值为（ ） A． B． C． D． 6．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）已知 ，且 则 的最小值是（ ） A．3 B． C．4 D． 题型三：由坐标解决三点共线问题 7．（2021·上海·高一课时练习）已知 、 、 三点共线，则x的值为（ ） A．-7 B．-8 C．-9 D．-10 8．（2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一阶段练习）已知 ， ， ，若A， ， 三点共线，则 （ ） A． B． C． D．2 9．（2021·全国·高一课时练习）已知向量 ， ， ，且A，B，C三点共线，则k的值是（ ） A． B． C． D． 题型四：由坐标解决线段平行和长度问题 10．（2021·辽宁丹东·高一期末）已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D．3 11．（2021·江苏·星海实验中学高一期中）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若向量 与 平行，则 （ ） A． B． C． D． 12．（2018·广东·仲元中学高一期中）已知 ，下列向量中，与 反向的单位向量是（ ） A． B． C． D． 题型五：数量积和模的向量坐标运算 13．（2021·全国·高一课时练习）已知向量 ， ，若 则 （ ） A． B．5 C． D． 14．（2021·全国·高一课时练习）已知向量 ， ，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 15．（2021·吉林·延边二中高一期中）在 中， ， ， 为线段 的三等分点，则 ＝( ) A． B． C． D． 题型六：向量垂直的坐标表示问题 16．（2021·全国·高一课时练习）设向量 ， ， ．若 ，则 与 的夹角为（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 17．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）已知 ，向量 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 18．（2021·安徽·合肥市第八中学