6.2.4 向量的数量积-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册) 6.2.4　向量的数量积 【考点梳理】 考点一　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.＝a， 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 考点二　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 考点三　投影向量 在平面内任取一点O，作就是向量a在向量b上的投影向量. ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则＝a， 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cos θ e. 与e，a，θ之间的关系为 考点四　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 考点五　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数量积的定义和几何意义 1．（2021·江西·九江一中高一期中）向量 在向量上的射影为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·江西·宜春九中高一阶段练习）已知 ， 且 ，则 在 方向上的投影为（ ） A． B．1 C． D． 3．（2021·广东汕尾·高一期末）在三角形 中，已知 ， ，点 满足 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 题型二：数量积的运算 4．（2021·北京市西城区教委高一阶段练习）设 为平面向量，则“存在实数 ，使 ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2021·全国·高一课时练习）已知 、 、 不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）． A． B． C． D． 6．（2021·江西·九江一中高一阶段练习）已知向量 、 满足 ， 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 、 题型三：数量积和模关系问题 7．（2021·全国·高一课时练习）已知向量 ， 满足 ， ，若 与 的夹角为 ，则 （ ）． A．1 B． C． D． 8．（2021·全国·高一课时练习）若向量 与 的夹角为60°， ， ，则 （ ） A．2 B．4 C．6 D．12 9．（2021·河北·正定中学高一阶段练习）已知平面向量 ， 则 的最大值（ ） A． B． C． D． 题型四：向量夹角的计算 10．（2021·全国·高一课时练习）若向量 ， 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 11．（2021·河北·张家口市第一中学高一阶段练习）已知非零向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 12．（2021·云南省南涧县第一中学高一阶段练习）已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 题型五：垂直关系的向量表示 13．（2021·江西·九江一中高一阶段练习）已知非零向量 满足 ， 与 夹角的余弦值为 ，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 14．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）若O为 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 15．（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）已知平面向量 ， 满足 ， ， ， 的夹角为120°，且 ，则实数 的值为（ ） A． B． C．2 D．3 题型六：已知模求参数问题 16．（2021·全国·高一课时练习）已知平面向量 ， ，且 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D．4 17．（2021·江苏·高一期中）设非零向量 的夹角为 ，若 ，且不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 18．（2021·浙江浙江·高一期末）设 为两个非零向量 的夹角，且 ，已知对任意实数 ， 无最小值，则以下说法正确的是（ ） A．若 和 确定，则 唯一确定 B．若 和 确定，则 有最大值 C．若 确定，则 D