6.2.3 向量的数乘运算-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册) 6.2.3　向量的数乘运算 【考点梳理】 考点一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 考点二　向量数乘的运算律 1 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 考点三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【题型归纳】 题型一：向量的线性运算 1．（2021·山东邹城·高一期中）已知向量 ，，实数 ， （ ， ），则下列关于向量的运算错误的是（ ） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 2．（2021·全国·高一课前预习）若 ，化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 3．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知 ， 是实数， ， 是向量，则下列命题中正确的为（ ） ① ；② ； ③若 ，则 ；④若 ，则 ． A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 题型二：平面向量的混合运算 4．（2021·全国·高一课时练习）若O为 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 5．（2021·福建福州·高一期中）在五边形 中 ， ， ， 分别为 ， 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 6．（2020·全国·高一课时练习）在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且 若 ， ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（2021·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图， 中， 、 、 分别是 、 、 上的中线， 它们交于点 ，则下列各等式中不正确的是（ ） A． B． ； C． D． 8．（2021·四川资阳·高一期末）如图，在 中， 为线段 上一点， ， 为 的中点．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 9．（2021·内蒙古·林西县第一中学高一期中（文））已知点 是 的边 的中点，点 在边 上，且 ，则向量 （ ） A． B． C． D． 题型四：三角形的心的向量表示 10．（2021·陕西渭滨·高一期末）已知 为三角形 所在平面内一点， ，则 （ ） A． B． C． D． 11．（2021·山东师范大学附中高一期中）如图， 是 的重心， ， ， 是边 上一点，且 ，则（ ） A． B． C． D． 12．（2021·全国·高一课时练习）已知点O、N、P在 所在平面内，且 ， ， ，则点O、N、P依次是 的（ ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【双基达标】 一、单选题 13．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（ ） ① ；② ； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2021·全国·高一课时练习）已知 是平面上的一定点， ， ， 是平面上不共线的三个动点，若动点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 15．（2021·全国·高一课时练习）若 ，则下列各式中不正确的是（ ）． A． B． C． D． 16．（2021·上海·高一课时练习）已知平面上不共线的四点 ，若 ，则 等于（ ） A． B． C．3 D．2 17．（2021·全国·高一课时练习）设向量 ， ，若 与 不共线，且点 在线段 上， ，则 （ ） A． B． C． D． 18．（2021·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列叙述不正确的是（ ） A．若 共线，则存在唯一的实数λ，使 ． B． ( 为非零向量)，则 共线 C．若 ，则 D．若 ，则 19．（2021·福建浦城·高一阶段练习）如图，在△ABC中， ＝ ，P是BN上一点，若 ＝t ＋ ，则实数t的值为（ ）． A． B． C． D． 20．（2021·云南隆阳·高一期中）已知在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，连接 交 于点 ，且满足 ， ， ，则 （ ） A．-3 B．1 C． D． 21．（2021