第05讲 函数单调性的应用-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)

第05讲 函数单调性的应用 第一关 知识梳理 知识点1 函数的单调性 （1）单调函数的定义 设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上任意两个自变量、，当时，有（或），那么就说函数在区间上是增函数（或减函数）；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是增函数；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是减函数.（注：函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量，对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．） 增函数 减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 若函数在区间上是增函数（或减函数），则称函数在区间为单调递增（或单调递减），区间叫做的单调递增区间（或单调递减区间）；（切记：注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联接.）（注：对于区间，必须，不能，也不能） 对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间断端点，书写时就必须去掉端点，因此。书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，需开则开”。 （3）基本初等函数的单调性： 函数 图象 参数范围 单调区间或单调性 一次函数 单调递增区间 单调递减区间 二次函数 单调递减区间为 ； 单调递增区间为 . 单调递增区间为 ； 单调递减区间为 . 反比例函数 单调递减区间为 和 单调递增区间为 和 指数函数 （且） 单调递减区间为 单调递增区间为 对数函数 （且） 单调递减区间为 单调递增区间为 幂函数 在上递减 没有单调性 在上递增 正弦函数 单调递增区间 单调递减区间 余弦函数 单调递减区间 ； 单调递增区间 正切函数 单调递增区间 （4） 一些函数的单调性常用的结论 ①与+单调性相同。（为常数） ②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； ③在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反； ④在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同； ⑤若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减． 第二关 解题策略 1、 比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。 注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。 2、解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范． 3、利用函数单调性求参数的取值范围． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。 ③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值， 注意：“单调区间”与“在区间上单调”的区分 (1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．(2