7.5 多边形的内角和与外角和-【帮课堂】2021-2022学年七年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第7章 平面图形的认识（二） 7.5 多边形的内角和与外角和 目标导航 课程标准 课标解读 1.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 2.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、对角、对角线等概念；探索并掌握多边形的内角和与外角和公式。 1.掌握三角形内角和、外角和定理及其证明； 2.掌握多边形内角和、外角和定理，并运用内、外角和定理进行角的计算。 知识精讲 1.三角形的内角 (1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法 剪拼成平角、通过作平行线构造平角，构造两平行线下的同旁内角。 3.三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠ABD是△ABC的一个外角。 （2）性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为360°。 【即学即练1】如图所示，已知FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=150°，∠B=∠C，求∠EDF的大小． 1.多边形 (1)定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 (2)多边形的内角；多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。 (3)多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 (4)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. (5)凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. (6)正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线，所有对角线的数量是 条 2.多边形的内角和、外角和 (1)多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180°， (2)定理：多边形的外角和等于360°.多边形的外角和恒等于360°，与多边形的边数无关. (3)正n边形的每个内角等于 ，每个外角等于360°。 【即学即练2】探究多边形内角和时，我们常把多边形转化成三角形，再根据三角形内角和为180°得出多边形内角和．如图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空 （1）四边形内角和：4×180°﹣360°＝4×180°﹣2×180°＝2×180°； （2）五边形内角和：5×180°﹣360°＝5×180°﹣2×180°＝　 　； （3）六边形内角和：6×180°﹣360°＝6×180°﹣2×180°＝　 　； … （4）n边形内角和：　 　＝　 　＝　 　． 能力拓展 考法01 三角形的内角和与外角和 【典例1】如图，MN∥PQ，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点． （1）求证：； （2）若点在线段上不与、、重合，连接，和的平分线交于点，请在图中补全图形，猜想并证明与的数量关系； （3）若直线的位置如图所示，中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出与的数量关系． 考法02 多边形的内角和与外角和 【典例2】（感知）如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A＋∠C＝260°，则∠BEF＋∠DFE＝　 　度． （探究）如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系． （结论）综合以上，请你用文字描述上述关系：　 　． （应用）如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A＋∠C＝210°，求∠M的度数． 分层提分 题组A 基础过关练 1．若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是（　　） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 2．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．若一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．一个多边形的每一个外角都是，这个多边形的内角和为（ ） A． B． C． D． 5．在四边形的4个内角中，钝角的个数最多为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若多边形的边数增加一条，则它的外角和（ ） A．增加180° B．不变 C．增加360° D．减少180° 7．以下叙述正确的有（ ） ①对顶角相等；②同位角相等；③两直角相等；④邻补角相等；⑤多边形的外角和都相等；⑥三角形的中线把原三角形分