第一章 3.2 双曲线的渐近线-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

3.2 双曲线的渐近线 【题型1】根据双曲线的方程求渐近线 解题思路：①已知双曲线方程为 ，求渐近线方程的方法:令 ; ②若焦点在 轴上，双曲线方程为 ，其渐近线方程为 ； ③若焦点在 轴上，双曲线方程为 ，其渐近线方程为 。 【例1】双曲线 的渐近线方程是 ( ) 【答案】 【解析】令 ，解得 ，选 。 【例2】已知双曲线 : ( )的离心率为 ,则 的渐近线方程为 ( ) 【答案】 【解析】由 ，得 ，选 。 【例3】若双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为 ( ) 【答案】 【解析】由 ，得 ，选 。 【例4】已知双曲线的对称轴为坐标轴,一条渐近线为 ,则双曲线的离心率为 ( ) 或 或 或 或 【答案】 【解析】若焦点在 轴上，则 ， ；若焦点在 轴上，则 ， ，选 。 【例5】已知 ,椭圆 的方程为 ,双曲线 的方程为 , 与 的离心率之积为 ,则 的渐近线方程为 ( ) 【答案】 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 ，得 ，选 。 【题型2】有共同渐近线双曲线方程的求法 解题思路：与 共渐近线的双曲线方程可设为 。 【例6】与双曲线 有公共的渐近线,且经过点 的双曲线的方程为 . 【答案】 【解析】设所求双曲线方程为 ，代入点 得 ，解得 ， 双曲线方程为 。 【例7】设双曲线 经过点 ,且与 具有相同渐近线,则双曲线 的方程为 ；渐近线方程为 . 【答案】 【解析】设双曲线方程为 ，代入点 得 ，解得 ， 双曲线的方程为 ，渐近线方程为 。 【题型3】已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线的渐近线方程为 ，可设双曲线方程为 ，当 时，焦点在 轴上，当 时，焦点在 轴上； 若双曲线的渐近线方程为 ，可设双曲线方程为 ，当 时，焦点在 轴上，当 时，焦点在 轴上。 【例8】已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 ,则该双曲线的标准方程为 【答案】 【解析】设双曲线方程为 ，将点 代入得 ，解得 ， 双曲线方程为 。 【例9】若双曲线的渐近线方程为 ,它的一个焦点是 ,则双曲线的方程是 【答案】 【解析】设双曲线方程为 ， 双曲线的焦点在 轴上，化简为 ， ， ，解得 ， 双曲线方程为 。 【题型4】双曲线的焦点到渐近线的距离 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 ，顶点到渐近线的距离为常数 ，焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。 【例10】已知双曲线 ,以 的右焦点为圆心且与 的渐近线相切的圆的半径是 ( ) 【答案】 【解析】以 的右焦点为圆心且与 的渐近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离，即等于 ，选 。 【例11】双曲线 的渐近线与圆 相切,则 ( ) 【答案】 【解析】 圆心恰为双曲线的右焦点， ，选 。 【例12】以双曲线 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程 ( ) 【答案】 【解析】 圆心恰为双曲线的右焦点， ，选 。 【例13】已知双曲线 的两条渐近线均和圆 :相切,且双曲线的右焦点为圆 的圆心,则该双曲线的方程为 ( ) 【答案】 【解析】由题可知， ， ，选 。 【例14】已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 ,焦点到渐近线的距离为 ,则该双曲线的离心率为 【答案】 【解析】双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 ，焦点到渐近线的距离为 ， 。 【例15】双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) 【答案】 【解析】由题可知， ， 双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 ，选 。 【例16】已知 是双曲线 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距离为 ( ) 【答案】 【解析】 ， ， ， 双曲线的焦点到渐近线的距离为常数 ，故选 。 【例17】已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲