第一章 2.2 椭圆中的最值问题-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

2.2 椭圆中的最值问题 有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题是具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。 【题型1】求离心率的最值问题 【策略1】建立 的不等式或方程 【例1】若 为椭圆 的长轴两端点， 为椭圆上一点，使 ，则此椭圆离心率的最小值为 。 【分析】建立 之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中 的取值进行求解离心率的最值。 【解析】法一：常规方法 不妨设 ，则 ，利用到角公式及 得 （ ），又点 在椭圆上，故 ，消去 ， 化简得 ，又 ，即 ，整理得 ，两边同时除以 得 ，解得 ，故椭圆离心率的最小值为 。 法二：由法一易得 ，得 ，由 ，故 。 法三：最大角定理 设椭圆与 轴交点为 ，则 ，此时 ，即 ，由 ，故 。 【点评】对于此类最值问题关键是如何建立 之间的关系。常用椭圆上的点 表示成 ，并利用椭圆中 的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。 【策略2】利用三角函数的有界性求范围 【例2】已知椭圆 两个焦点为 ，如果曲线 上存在一点 ，使 ，求椭圆离心率的最小值。 【分析】根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。 【解析】法一：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得： ，故 ，故椭圆离心率的最小值为 。 法二：最大角定理 设椭圆与 轴交点为 ，则 ，此时 ，即 ，由 ，故 。 【题型2】求点点（点线）距的最值问题 【策略3】建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法） 【例3】点 分别是椭圆 长轴的左、右端点，点 是椭圆的右焦点，点 在椭圆上，且位于 轴上方， 。 ⑴求点 的坐标； ⑵设 是椭圆长轴 上的一点， 到直线 的距离等于 ，求椭圆上的点到点 的距离 的最小值。 【分析】解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。 【解析】⑴由题可知， ， ，设 ， ， ， ， ，又点 在椭圆上，且位于 轴上方，则 ，联立 ，解得 ，则点 的坐标为 ； ⑵直线 的方程是 ，设点 ,则 到直线 的距离是 ， ,又 ,解得 ，设椭圆上的点 到点 的距离 ，则 , , 当 时, 取得最小值 。 【策略4】利用椭圆定义合理转化 【例4】定长为 的线段 的两个端点分别在椭圆 上移动，求 的中点 到椭圆右准线 的最短距离。 【解析】设 为椭圆的右焦点，如图， 作 于 ， 于 ， 于 ，则 ，当且仅当 过焦点 时等号成立，故 到椭圆右准线的最短距离为 。 【点评】 是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值， 是 过焦点的充要条件，通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。 【题型3】求角的最值问题 【例5】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 在 轴上，长轴 的长为 ，左准线 与 轴的交点为 ， 。 ⑴求椭圆的方程； ⑵若直线 ， 为 上的动点，使 最大值。 (并用 表示) 。 【分析】本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角（夹角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，结合本题的实际，考虑用夹角公式较为妥当。 【解析】⑴由题可知， ，解得 ，又 ， ，解得 ， ，则椭圆的方程为 ； ⑵设 ， ①当 时， ； ②当 时, ， 只需求 的最大值即可。则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，利用夹角公式得： ，当且仅当 = 时， 最大， 的最大值为 。 【点评】对于此类最值问题关键是如何将角的最值问题转化成解析几何中的相关知识最值问题，一般可用到角（夹角）公式、余弦定理、向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题。 【题型4】求面积的最值问题 【例6】已知 、 、 、 四点都在椭圆 上， 为椭圆在 轴正半轴上的焦点，已知 与 共线， 与 共线，且 ，求四边形 的面积的最小值和最大值． 【分析】本题是向量与解析几何的结合，主要是如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运算过程，并结合分类讨论与求最值的思想。 SHAPE \* MERGEFORMAT 【解析】①如图，由条件知 和 是椭圆的两条弦，相交于焦点 ，且 ，直线 中至少有一条存在斜率，不妨设 的斜率为 ，又 过点 ，故 的方程为 ，将此式代入椭圆方程得 ，设 两点的