第二章 1.5 离心率取值范围问题-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

1.5 离心率取值范围问题 【策略1】根据题目已知不等式求离心率的取值范围（注意“存在”“恒成立”是隐藏的不等式）。 【例1】已知椭圆（）的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（　　） 【答案】 【解析】如图所示， 设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，，。取，点到直线的距离不小于， ，解得．，椭圆的离心率的取值范围是。 【例2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） 【答案】 【解析】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率，离心率的取值范围是。 【例3】若双曲线（）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) 【答案】 【解析】或(舍去),. 【例4】设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 【答案】 【解析】由题可知，知，的中点的坐标为，，，，，，，解得。 当时，不存在，此时为中点，综上所述， 【策略2】根据焦半径的取值范围（利用三角形三边的关系建立不等关系）求离心率的取值范围。 ⑴若是椭圆的一个焦点，是椭圆上的任意一点，则； ⑵若是双曲线的右焦点，若是双曲线右支上的任意一点，则；若是双曲线左支上的任意一点，则，根据题给等式确定位置。 ⑶若是椭圆上的任意一点，则. 【例5】椭圆()的右焦点为，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（　　） 【答案】 【解析】 由题可知，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即点到点与点的距离相等，，，，即， ，，又，故。 【例6】已知双曲线（）的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，，，又，，，由双曲线性质知，，即，得，又，得． 【例7】已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】在中，由正弦定理得，则由已知得， 即，设点，由焦点半径公式，得，则，解得，由椭圆的几何性质知，，则，整理得，解得或，又，故椭圆的离心率。 【例8】双曲线（）的两个焦点为,若为其上一点，且,则双曲线离心率的取值范围为（ ） 【答案】 【解析】法一：设，，当点在右顶点处， ，． 法二：如图， ，，由焦半径可知，解得。 法三：由题意可知，，即，由，则. 【例9】已知双曲线的左，右焦点分别为,点在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率的最大值为( ) 【答案】 【解析】由题可知，，即，由，则. 【例10】如果椭圆上存在一点，使得点到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ） 【答案】 【解析】设，由题意及椭圆第二定义可知，，，（当且仅当三点共线等号成立），，把代入化简可得，，解得，又，。 【例11】已知双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线右支上一点，到右准线的距离为，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围为 。 【答案】 【解析】由题可知，，，，，， 又因为在右支上，，，，，得，即，。 【例12】设点在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点到左准线的距离和的比例中项，则双曲线离心率的取值范围为 。 【答案】 【解析】由题设得。由双曲线第二定义得，由焦半径公式得，则，即，解得。 【例13】已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，则双曲线离心率的取值范围 。 【答案】 【解析】，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。 【例14】若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( ) 【答案】 【解析】是已知双曲线的左焦点，，即，双曲线方程为，设点，则，解得，，，，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，，当时，取得最小值，故的取值范围是。 【例15】若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，则此椭圆离心率的最小值为 。 【答案】 【解析】不妨设，则，利用到角公式及得（），又点在椭圆上，故，消去，化简得又即，则，从而转化为关于的高次不等式 解得。故椭圆离心率的最小值为。（或，得：，由，故）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 【策略3】根据渐近线求离心率的取值范围。 ⑴若直线恒