第二章 1.4 正弦公式求离心率-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

1.4 正弦定理求离心率 【定理1】已知椭圆方程为，两焦点分别为设焦点三角形，,,则椭圆的离心率。 【证明】 由正弦定理得, 由等比定理得，,。 【定理2】已知双曲线方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。 【证明】 由正弦定理得，由等比定理得,，。 【例1】已知是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且,则的离心率为（ ）          【答案】 【解析】法一：依题意设，，，又，，，。 法二：。 【例2】椭圆()的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于__________． 【答案】 【解析】法一：知直线的倾斜角为，， ，又，，即. 法二：。 【例3】设椭圆()的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为(　　)． 【答案】 【解析】法一：如图所示， 在中，，设，则，由，得.由椭圆定义得，，，. 法二：。 【例4】过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（　　） 【答案】 【解析】法一：由题意知，点的坐标为或，，，即，，或（舍去）． 解法二：。 【例5】已知椭圆的焦点是，为椭圆上一点，且是和的等差中项，若点在第三象限，且，则． 【答案】 【解析】由题可知，，，又，，椭圆的方程为，设，则。椭圆的离心率，则，，，故，。 【例6】设是双曲线的两个焦点，若在上存在一点，使，且，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】法一：如图所示， ，，可得，由双曲线定义知，，由得，即，即，，. 法二：。 【例7】双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（　　） 【答案】 【解析】法一：如图， 在中，，，，，，故选． 法二：由题可知，，解得，即，整理得，两边同时除以得，解得，故选。 法三：。 【例8】设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（　　） 【答案】 【解析】法一：如图， 由题可知，，，由双曲线的定义，有，，，故选． 法二：作轴，易知，，则，，，，两边同时除以可得，，解得，即。 法三：。 【例9】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于不同象限内的两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　) 【答案】 【解析】如图， 设左焦点为，连接，令，则，由双曲线定义可知①，∵点与点关于原点对称，且，，②，由①②得，又知， ，，，又，，，又，，故选. 法二：设左焦点为，连接，，根据对称性，，在中，，，，即，，，，，故选。 【例10】已知，是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ） 【答案】 【解析】法一：由题可知，如图所示， 设，，，，，，，，两边同时除以可得，解得或（舍），故。 法二：由题可知，离心率，由正弦定理得。 $