第一章 5.3 代入法-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

5.3 代入法 相关点代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程。 相关点代入法求轨迹方程的个步骤： 【例1】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ） 【答案】 【分析】由题可知，， ，，则，即，在抛物线上，，，，整理得，即的轨迹方程为。 【例2】已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程是__________ 【答案】 【分析】考虑设，，由抛物线可得，且，故考虑利用向量关系得到与的关系，从而利用代入法将用进行表示，代入到即可。 【解析】抛物线方程为，，设，，， ，，即①，在上，，将①代入可得，即。 【例3】已知的顶点，边上的中线长，则顶点的轨迹方程为 【答案】 【解析】设 由题意可得，又，，即, 三点不共线，点不能落在轴上,即,点的轨迹方程为. 【例4】设为坐标原点，动点在椭圆上，作点作轴的垂线，垂足为，点满足. ⑴求点的轨迹方程; ⑵设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过的左焦点。 【解析】⑴设, ,则 ，，， ，在上, ，点的轨迹方程为. ⑵由题可知，，设，则，，，，，又由⑴可知，，，，即 ，又过点存在唯一直线垂直于,过点且垂直于的直线过的左焦点。 【例5】如图所示，已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程。 【解析】 设的中点为，坐标为，则在中，，又是弦的中点， 依垂径定理，在中，，又 有,即，点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动，设，，是的中点，,代入方程，得，整理得。 【例6】已知曲线与直线交于两点和，且，记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合． ⑴若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； ⑵若曲线与有公共点，试求的最小值． 【解析】⑴联立得，则中点，设线段 的中点坐标为， 则，即，又点在曲线上，，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）； ⑵曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，设圆与直线相切于点，则有，即，过点与直线垂直的直线的方程是，即。，解得，当时，，分别是上的点的最小和最大横坐标，切点，故． $