6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）分层作业解析版【新教材 新思维高中数学】-2021-2022学年上学期高二数学同步教学（人教A版（2019）选择性必修第三册）

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二) 一、选择题 1.由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为(　　) A.15 B.12 C.10 D.5 答案　D 解析　分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数1＋2＋2＝5(个). 2.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　) A.4种 B.5种 C.6种 D.12种 答案　C 解析　若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传法. 3.若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　) A.10个 B.14个 C.15个 D.21个 答案　A 解析　当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4，5；当b＝3时，c＝4，5，6；当b＝4时，c＝4，5，6，7.故共有1＋2＋3＋4＝10(个)这样的三角形. 4.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为(　　) A.18 B.16 C.14 D.10 答案　C 解析　分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标，有3×2＝6(个)不同的点，二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标，有4×2＝8(个)不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8＝14(个)不同的点. 5.有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有(　　) A.4 320种 B.2 880种 C.1 440种 D.720种 答案　A 解析　第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)不同的涂色方法. 二、填空题 6.如图所示为一电路图，则从A到B共有__________条不同的单支线路可通电. 答案　8 解析　按上、中、下三条线路可分为三类：上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2×2＝4(条).根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(条). 7.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成__________组. 答案　60 解析　分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果；同理，第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60(组). 8.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报法有________种. 答案　81 解析　由于每个同学报哪个运动队没有限制，因此，每个同学都有3种报名方法，4个同学全部报完，才算完成这件事，故共有3×3×3×3＝81(种)不同的报法. 三、解答题 9.将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中. 求：(1)1号盒中无球的不同方法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数. 解　(1)1号盒中无球即A，B，C三球只能放入2，3，4号盒子中，有33＝27(种)放法； (2)1号盒中有球可分三类：第一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27(种)放法，第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9(种)放法，第三类是1号盒中有三个球，有1种放法.共有27＋9＋1＝37(种)放法. 10.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？ 解　分两类完成. 第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条. 第2类，当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成. 第1步，确定A的值，有4种不同的方法； 第2步，确定B的值，有3种不同的方法. 由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12(条)直线. 由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条). 11.方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同.在所有这些