第1讲 空间几何体的表面积与体积（练）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）

第1讲 空间几何体的表面积与体积（练·教师版） 一、单项选择题 1．(2021·南昌市模拟)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，有以下结论：①l∶r＝4∶3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3；③圆锥的轴截面是锐角三角形.其中所有正确结论的序号是(　　) A.①②　　　　　　　　 B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】A 【解析】 设圆锥的母线长l＝1.因为圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，所以圆锥的侧面积为π，又圆锥的底面半径为r，所以由2πr＝×2π得＝，所以＝，故①正确； 圆锥的侧面积与底面积之比为＝，故②正确； 设圆锥的轴截面三角形的顶角为θ，因为圆锥的底面直径为2×＝，所以cos θ＝＝－，所以角θ为钝角，所以圆锥的轴截面是钝角三角形，故③错误. 2．（2021·陕西交大附中高三模拟（理））已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥底面半径为，高为，由题意可得母线， 所以圆锥的侧面积为，且， 所以圆锥的体积为， 则， 当且仅当，即时取等号， 此时.故选D. 3．如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则三棱锥P­ABC的内切球的表面积为(　　) A.π　　　　　　 B.π C．4π D．16π 【答案】B 【解析】 由PA⊥平面PBC，且PA＝4，PB＝2，AC＝2，得AB＝2，PC＝2，所以△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形，V三棱锥P­ABC＝V三棱锥A­PBC＝S△PBC×PA＝××(2)2×4＝4，三棱锥P­ABC的表面积为S＝×2×4×2＋×(2)2＋×2×5＝16.设内切球半径为r，则V三棱锥P­ABC＝×S×r，即4＝×16×r，所以r＝，所以三棱锥P­ABC的内切球的表面积为4π×＝. 4．如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(　　) A. B．π C. D． 【答案】C 【解析】 正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3×＝.故选C. 5．(2021·东营市模拟)已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝2，点D是斜边AB上一点(不同于点A，B)．沿线段CD折起形成一个三棱锥A­CDB，则三棱锥A­CDB体积的最大值是(　　) A．1 B. C. D. 【答案】D　 【解析】设AD＝x，将△ACD折起使得平面ACD⊥平面BCD.在△ACD中，由面积公式得CD·h1＝AD·1(h1为点A到CD的距离)，则h1＝ .由题易知h1为点A到平面BCD的距离，故三棱锥A­CDB体积为V＝S△BCD·h1＝×·h1＝·，x∈(0，2)．令t＝，则t∈[1，)，故V＝·＝·.由于－t是减函数，故当t＝1时，V取得最大值为×(2－1)＝.故选D. 6．（2021·山西太原市高三一模（文））已知正四面体的棱长为4，点在棱上，且，过作四面体外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，正四面体的棱长为4，则正方体的棱长为， 正四面体的外接球即正方体的外接球，其半径为， ∴， ∵， ∴， 则截面圆的半径， ∴截面面积的最小值为.故选B. 二、多项选择题 7．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表面积为平方厘米，半球的半径为厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为h,R,则则所以酒杯的容积. 又h>0,所以所以,解得.故选AC 8． (2021·枣庄市模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值 【答案】AD 【解析】　由于AB固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD∥HG∥EF∥AB，且平面AEHD∥平面BFGC，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A正确；因为水面EFGH所在四边形，从图②，图③可以看出，EF，GH长度不变，而EH，F